Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

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22.05.2013, 21:45	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Hallo zusammen ich habe ein Problem folgende Aufgabe zu lösen: Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Eckpunkten A (1 \| 0 \| 2); B (0 \| 3 \| 1); C (5 \| 1 \| 2) Meine Ideen: Wäre super wenn mir jemand helfen könnte
22.05.2013, 21:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideen sind nicht gerade viele da. Welche Flächenformeln kommen hier in Frage bzw. welche kennst du? mY+
22.05.2013, 22:03	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt Die "normale" Flächeninhaltsformel für Dreiecke: 0,5gh ist mir z.B. geläufig. :P Mir kam aber gerade tatsächlich doch noch eine Idee: Muss ich das ganze etwa als dreidimensionales Gebilde betrachten? Fand nämlich gerade in meinen Unterlagen eine ähnliche Aufgabe mit Vektoren. Da wurde noch folgende Formel zur Berechnung des Flächeninhalts angegeben: $\begin{eqnarray} A = 0,5a b * sin \gamma \end{eqnarray*}$ Hilft das vielleicht weiter?
22.05.2013, 22:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, wenn du die Längen und den von ihnen eingeschlossenen Winkel bestimmen kannst, dann steht der Flächenberechnung nichts mehr im Wege. Zur Info: Wenn dir das Vektorprodukt schon bekannt ist: A = 1/2 mal der Betrag des Vektorproduktes der Vektoren zweier Seiten. mY+
22.05.2013, 22:46	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. Also lässt sich "A (1 \| 0 \| 2)" einfach auch als Vektor schreiben: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Vektorprodukt ist mir zwar ein Begriff, aber so ganz hab ich das noch nicht verstanden. Zwischen welchen Vektoren muss ich das bilden? Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren fand ich gerade noch diese Formel: $\begin{eqnarray} cos \alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 * b_2 + a_3 * b_3}{\|\vec{a}\| * \|\vec{b}\|} \end{eqnarray*}$
22.05.2013, 22:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektor, den du geschrieben hast, ist ein Ortsvektor, dieser geht vom Nullpunkt zu dem Punkt A. Bei den Vektoren, die durch die Seiten des Dreieckes bestimmt sind, geht es aber NICHT um die Ortsvektoren, sondern um die Vektoren AB, AC oder BC. Die Formel für den Winkel kannst du verwenden. Berechne davon dann den sin (den du für die Fläche benötigst), ohne den Winkel selbst zu bestimmen (!) mY+
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22.05.2013, 23:04	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Also muss ich zuerst dreimal das Vektorprodukt bestimmen? Zwischen: AB, AC und BC ? Aber wie schreibe ich die dann nicht als Ortsvektor? Leider verstehe ich das ganze noch immer nicht so richtig
22.05.2013, 23:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Vektorprodukt brauchst du nur einmal. Z.B. von den Vektoren AB und AC. Wie man einen Vektor bestimmt, dessen Anfangs- und Endpunkt gegeben ist, weisst du? Dann schreibe mal die Vektoren AB und BC auf. mY+
22.05.2013, 23:49	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh okay. Aber: "Wie man einen Vektor bestimmt, dessen Anfangs- und Endpunkt gegeben ist, weisst du? Dann schreibe mal die Vektoren AB und BC auf." Da muss ich glaube ich passen. Ich bin mir gerade nich einmal sicher, wie ich die Vektoren nun nicht als Ortsvektor schreibe. O.o
22.05.2013, 23:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: A(1; 2; 3), B(3; 5; 8) --> Vektor AB = (2; 3; 5) Regel: Koordinaten des Endpunktes minus Koordinaten des Anfangspunktes. Geometrisch ist das die Subtraktion des Ortsvektors zu A von dem Ortsvektor zu B. mY+
23.05.2013, 00:31	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Jetzt habe ich das wenigstens schon einmal verstanden. Dann ist das Vektorprodukt von BC: B (0 \| 3 \| 1) C (5 \| 1 \| 2) Vektor BC = (5; -2; 1) oder? Nur jetzt stehe ich leider wieder auf dem Schlauch Wie komme ich jetzt auf die Seiten um den Winkel berechnen zu können?
23.05.2013, 00:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich hast du den Begriff "Vektorprodukt" missverstanden oder du kennst diesen überhaupt noch nicht. Du darfst ihn auch nicht mit dem Skalarprodukt verwechseln, welches im Zähler bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} \cos \alpha \end{eqnarray}$ steht. Der Vektor BC stimmt. Er allein ist (noch) nicht DAS Vektorprodukt, sondern einfach der Vektor, der von B nach C geht. Bevor du irgendein Produkt verwenden kannst, müssen zuerst beide Vektoren bestimmt werden. Also stelle einmal die beiden Vektoren auf; vorzugsweise sollen sie von einem Eckpunkt des Dreieckes ausgehen, also sind sie z.B. BA und BC oder auch AB und AC, auch das ist möglich. mY+
23.05.2013, 00:55	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh da habe ich wohl etwas falsch verstanden. Dann also erstmal die beiden Vektoren: AB war: (2; 3; 5) und AC müsste (4; 1; 0) sein.
23.05.2013, 00:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
AC stimmt, AB aber nicht, das war ja nur ein anderes Beispiel von mir, da musst du schon deine Punkte von der Angabe nehmen! Und wie geht's dann weiter, wenn du beide Vektoren hast?
23.05.2013, 01:01	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Hups AB: (1; 3; -1) Und jetzt wahrscheinlich das Vektorprodukt bilden oder?
23.05.2013, 01:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du das kennst, ist es der einfachste Weg ... (Die Fläche des Dreieckes ist dann, wie schon gesagt, der halbe Betrag davon) Übrigens: AB: (-1; 3; -1)
23.05.2013, 01:18	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann hätte ich jetzt: $\begin{eqnarray} \vec{AB}\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Davon dann den Betrag bilden und dann durch 2 teilen?
23.05.2013, 01:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die 3. Komponente nicht -13 anstatt -11?
23.05.2013, 01:23	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry für den Doppelpost kann leider nicht editieren.. "Übrigens: AB: (-1; 3; -1) " Dann: $\begin{eqnarray} \vec{AB}\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
23.05.2013, 01:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmt's, nun den Betrag und davon die Hälfte (weil's ja das Dreieck anstatt des Parallelogrammes ist) und fertig. mY+
23.05.2013, 01:34	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch.. Plötzlich bin ich schon fast fertig? Dann brauchte man ja nicht zwingend diese Formel $\begin{eqnarray} A = 0,5a b * sin \gamma \end{eqnarray}$ Als Betrag hätte ich nun: $\begin{eqnarray} \sqrt{138} \end{eqnarray*}$ also ~11,75 als Ergebnis. Davon dann die Hälfte: ~5,9
23.05.2013, 01:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
138 unter der Wurzel stimmt nicht. Ich habe etwas anderes ... (hast du etwa wieder mit -11 anstatt mit -13 gerechnet?) mY+
23.05.2013, 01:46	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich. Langsam schläft das Hirn ein. $\begin{eqnarray} \sqrt{186} \end{eqnarray}$ also 13,63 als Ergebnis. Davon die Hälfte: ~6,8 Hoffe jetzt stimmts.
23.05.2013, 01:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ~ 6,82 FE FE .. Flächeneinheiten, das musst dazuschreiben, es sind ja keine Äpfel oder Birnen .. UND: Du kanst durchaus auch mit der anderen Formel rechnen. Eine nette Übung und gleichzeitige Kontrolle wär's! GN8! mY+
23.05.2013, 01:54	Schreibstift	Auf diesen Beitrag antworten »
;D Tatsächlich stünde ich wieder auf 0 wenn ich das ganze nun mit der anderen Formel überprüfen wollen würde. Es ist mir ein Rätsel, wie ich auf die Seitenlängen kommen sollte. Wie dem auch sei.. So fand ich es doch deutlich einfacher. Also vielen vielen Dank mYthos für deine Hilfe und Geduld auch noch zur späten Stund'
23.05.2013, 01:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Freilich ist der eben gerechnete Weg einfacher. Hinweis: Die Länge des Vektors ist sein Betrag. $\begin{eqnarray} \|\vec a\| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2} \end{eqnarray}$ Dies mal zur Info. Servus!

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