Anwendungsaufgabe mit Wassertröge |
| 23.05.2013, 13:03 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Hallo Mathe-Freunde, ich brauche eure Hilfe bei meinem Referat, welches die Hälfte meiner Note ausmachen wird 
Problematik: Quadratische und trigonometrische Funktionen; Flächenberechnung mittels Integralrechnung Modellierung Die Aufgabenstellung lautet: Auf Viehweiden sieht man des öfteren Wassertröge. Angaben zum Wassertrog: Länge: 200 cm, Breite: 50cm, Höhe: 30cm a) Welches Fassungsvermögen (in Liter) hat ein solcher Trog? Verwenden Sie zwei verschiedene Ansätze. Um wie viel Prozent unterscheiden sich diese Ansätze? Arbeiten Sie im folgenden nun mit einem Ansatz weiter. b) Wie hoch steht das Wasser im Trog, wenn er halb gefüllt ist? Der Trog wird über einen konstanten Zulauf von 20l pro Minute gespeist. Beschreiben Sie die Fullhöhe h als Funktion zum Zeit t. Wie lange würde es dauern, den Trog randvoll zu füllen? Ein zum Reinigen vollständig geleerter Trog wird wieder gefüllt. Wie hoch steht das Wasser drei Minuten nach Beginn des Füllvorgangs? Meine Ideen: Ich habe auch einige Ansätze, die ich meinem Lehrer auch schon vorgezeigt habe. Er hat mir auch Zwischenergebnisse gegeben, auf die ich leider selber nicht draufkomme. Meine Ansätze: a) Ansatz 1: an der Frontfläche eine Funktionsgleichung einer parabelförmigen Funktion aufstellen --> A(0|0) B(-25|0) C(25|0) Die Punkte A,B,C müssen in der Funktionsgleichung vorkommen. Funktionsgleichung gesucht. Danach anhand Integralrechnung: Flächeninhalt der Frontfläche berechnen und anschließend: V(Prisma)= G*h Ansatz 2: Nichts gefunden, mein Lehrer meinte, dass man die Frontfläche mit lauter Rechtecken füllen kann und dann den Inhalt rausbekommen könnte. Keine Ahnung ! Unterschied in Prozent: Ergebnis Ansatz 1 / Ergebnis Ansatz 2 = xx % b) Die Kurve kann ich auch selber skizzieren. Tipps von meinem Lehrer: für Teil b) soll ich Ansatz 1 nehmen und mit Integralrechnung A(h) finden: zwischenergebniss: A(h)= 10/9 * Wurzel(30) * Wurzel(h^3) (wie kommt man drauf?) V(h)= A(t) * 200 Nun brauche ich noch das Füllvolumen V(t) in Abhängigkeit von der Zeit t. Anschließend muss ich noch V(h) und V(t) gleichsetzen und nach h auflösen und damit den Rest lösen. (keine Ahnung ?) Vielen Dank.! |
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| 23.05.2013, 13:39 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Herzlich willkomen im Matheboard!
Aber kein Quader, sondern ein etwa u-förmiger Querschnitt, oder?
Und wie lautet die Funktionsgleichung?
Nimm doch eine Sinushalbwelle. Ist vielleicht einfacher. Fangen wir erst einmal damit an, der Rest wird dann schon. Viele Grüße Steffen |
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| 23.05.2013, 13:46 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Hallo Steffen, genau kein Quader, sondern ein u-förmiger Querschnitt. Die Funktionsgleichung muss ich ja selber finden, keine Ahnung wie das gehen soll. Aber mein Lehrer hat mir die Funktionsgleichung gegeben, aber ich muss vor der Klasse erklären, wie ich draufgekommen bin. Die Gleichung lautet: f(x)= 6/125 * x^2 Sinushalbwelle klingt nicht schlecht 
damit kann man es auch sicherlich machen, aber ich soll laut Lehrer Ansatz 1 nehmen.Viele Grüße |
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| 23.05.2013, 13:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge
Du hast drei Punkte (x|y) gegeben, die alle die Gleichung y=ax²+bx+c erfüllen müssen. Also...?
Für Teil b, ja. Aber in Teil a sollst Du doch die beiden Ansätze vergleichen. |
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| 23.05.2013, 13:52 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Ah jaaa, muss die Bedingungen aufstellen und dann die Unbekannten finden. Ok geht klar.. Ne eigentlich muss ich nur 2 ansâtze vorstellen und mehr nicht. Wie kann ich dann eine sinusfunktion aufstellen? |
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| 23.05.2013, 14:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge
So ein U wäre ja z.B. die untere Halbwelle von einem Cosinus, deren Höhe 30cm und deren Breite 50cm ist. So kannst Du y=a*cos(b*x) bestimmen. Oder - noch einfacher, denn Du sollst ja mit dem anderen Ansatz weiterrechnen, musst Dich also bei dieser Funktion nicht mit Integralen rumschlagen: nimm einen Halbkreis. |
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| 23.05.2013, 14:20 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Hmm danke
Und kannst du mir auch beim zweiten Teil helfen? Wie komm ich auf die ganz komische funktion mit den wurzeln? Am besten zwischenschritte
Danke |
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| 23.05.2013, 14:27 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Dein Lehrer hat Dir ja die Formel schon gegeben. So sieht also der Trog von der Seite aus: Und diese Parabel soll jetzt halb gefüllt werden. Da müssen wir uns also erst einmal Gedanken machen, welche Fläche die überhaupt hat. Kriegst Du das hin? |
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| 23.05.2013, 14:29 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Ja abhand integralrechnung und mit dem gtr kann ich die flâche berechnen.. Oder nicht?! |
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| 23.05.2013, 14:32 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Vollkommen richtig! Und davon die Hälfte, dann bekommen wir einen x/y-Wert und haben die Füllhöhe. |
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| 23.05.2013, 14:51 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Also das versteh ich jetzt nicht. 0ch habe mit dem GTR jetzt 1000 rausbekommen. Wie soll ich jetzt damit die füllhöhe berechnen?! Mein lehrer hat mir gesagt, dass ich mit integralrechnung die formel A(h) finden soll, und diese funktion liefert dann alle wasserstandshöhen. A(h)= 10/9 * wurzel(30) * wurzel(h^3) Wie komm ich auf diese funktion? |
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| 23.05.2013, 14:57 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Leg den Taschenrechner mal zur Seite. Wie kannst Du den Inhalt von der Parabel ausrechnen? |
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| 23.05.2013, 15:02 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Hab noch eine gerade bei y=30 zeichnen lassen, und dann den inhalt 
Anders hâtt ich es ja nicht machen können. |
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| 23.05.2013, 15:10 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Aber Du hast doch schon Integralrechnung erwähnt. Ein Integral liefert Dir die Fläche unter einer Kurve. Schau Dir noch mal mein Schaubild an. Die Funktion heißt und geht von -25 bis +25. Berechne mir doch mal die Fläche unter dieser Funktion. |
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| 23.05.2013, 15:25 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge 0ch habe zuerst 50 x 30 genommen, weil -25 bis 25 und höhe 30, davon hab ich dann die flâvhe unter der kurve subtrahiert. Die flâche unter der kurve betrâgt 500. Deshlab bin ich auf die 1000 gekommen. |
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| 23.05.2013, 15:32 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Prima, genauso wird's gemacht. Nun sollen aber nicht 1000 in der Parabel sein, dann steht der Inhalt ja von -25 bis +25, sondern nur die Hälfte, also 500. Von wo bis wo steht dann also der Inhalt? |
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| 23.05.2013, 21:13 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge -25 bis 25 ist ja die Breite vom Trog ?! Wieso davon die Hâlfte... Komisch verstehs grad nicht |
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| 24.05.2013, 09:19 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Vielleicht hilft ein Bilderl... 
Schau mal, ich hab Dir die gefüllte Parabel links hingezeichnet. Die gefüllte Fläche habe ich rot besprüht. Du hast ja schon ausgerechnet, dass sie die Fläche 1000 hat. Dazu hast Du ja die Grenzen des Integrals gebraucht, das ging also von -25 bis 25. Die Füllhöhe ist 30, wie Du siehst. Nun soll die Parabel halb gefüllt werden. Das hab ich rechts versucht anzudeuten. Wir müssen den Füllstand (den y-Wert) so absenken, dass die Fläche 500 beträgt! Dadurch ergeben sich (mit blauen Pfeilen angedeutet) zwei neue x-Werte als Grenzen. Die müssen wir wissen, damit wir die Füllhöhe (den neuen y-Wert) ausrechnen können. Nimm also die Formel, mit der Du die 1000 ausgerechnet hast, und lass sie auf die 500 los. Du erhältst die dazugehörigen x-Werte (die Integralgrenzen) und kannst dann den y-Wert (die Füllhöhe) ausrechnen. Wenn etwas unklar ist, melde Dich. Viele Grüße Steffen |
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| 24.05.2013, 16:00 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Ja jetzt hab ich es verstanden. Aber ich komm nicht auf die x-werte, sodass ich nur noch 500 hab -.- Kannst du mir viellicht den rechenweg oder sowas schreiben? |
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| 24.05.2013, 16:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge
Fang Du an. Wie hast Du die 1000 berechnet? |
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| 24.05.2013, 16:15 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge 0ch habe die funktion zeichnen lassen, dann noch eine gerade bei y=30. Dann hab ich 30x50 genommen, da die grenzen ja von -25 bis 25 gehn. Somit habe ich 1500. Und von diesen 1500 habe ich die flâche unter der kurve subtrahiert (500) und kam dann auf die 1000. Und jetzt soll ich die x werte bestimmen, aber wie? |
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| 24.05.2013, 16:18 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge
Ja, das meinte ich. Wie hast Du diese 500 berechnet? |
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| 24.05.2013, 16:20 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Mein GTR hats gemacht :/ |
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| 24.05.2013, 16:25 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Ja, das hab ich befürchtet.
Ist ja auch nicht schlimm, aber für Dein Referat musst Du verstehen, wie das zu Fuß berechnet wird. Also ein kleiner Crashkurs: Wenn Du eine Kurve hast, die durch die Funktion f(x) beschrieben wird, berechnet sich die Fläche unter dieser Kurve (also zwischen ihr und der x-Achse)zwischen den Stellen x=a und x=b über das Integral Dazu bestimmst Du die Stammfunktion von f(x), die wird gerne F(x) genannt. Die Fläche ist dann einfach F(b)-F(a). Kannst Du das jetzt auf Deine Parabel anwenden, um diese Fläche 500 zu berechnen? |
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| 24.05.2013, 16:31 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Ahsoooo das konnte ich mal fürs Abi, aber für die Hâlfte vom Volumen kann ich das ja nicjt nehmen. Denn ich brauche die beiden Grenzen. Ohne Grenzen kann ich keinen 0ntegral berechnen. Und wir müssen die Grenzn finden zu der Füllhöhe 15, sodass im Trog 500 sind |
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| 24.05.2013, 16:34 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Genau so! Also nimm das Integral, setz die gesuchten Grenzen -a und +a ein, integriere, setze es gleich 500 und bestimme a. EDIT: Sorry, das ist nicht ganz korrekt. Vorher hast Du das Integral von 30*50=1500 abgezogen, das sind jetzt aber nun 2a*f(a). Ist aber auch nicht viel schwerer. Die Fläche ist dann also EDIT: Und nix mit Füllhöhe 15 - die Füllhöhe rechnen wir dann erst aus, wenn wir a haben. 15 wäre bei einem rechteckigen Querschnitt richtig, hier kommt was anderes raus. |
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| 24.05.2013, 17:11 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge 0ch blicks nicht mehr ?! Wieso 2a*f(a)? Und beim integral hab ich als stammfunktion F(x)=2/125x^3 0ch setze als obere grenze a ein und subtrahiere die untere grenze -a. Dann komm 0ch auf 4/125a ? |
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| 24.05.2013, 17:19 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge
Schau auf mein Bildchen rechts. Die blauen Pfeile zeigen auf +a und -a. Die Unterkante des Rechtecks ist also 2a lang. Ok? Und die Höhe des Rechtecks ist der Funktionswert an der Stelle a, also f(a).
Richtig.
Fast. wäre richtig. Nun ziehe das von ab und setze es gleich 500. |
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| 24.05.2013, 17:31 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Hab nun für a -+ 19,84 rausbekommen, stimmt das? Und wie muss ich dann weiterrechnen? |
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| 24.05.2013, 17:34 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Richtig! Und wie hoch das Wasser steht (siehe mein Bildchen), verrät Dir dann die Funktion. |
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| 24.05.2013, 17:42 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Dann ist der y-wert ca.18? |
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| 24.05.2013, 17:48 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Na, eher 19, aber kann man ja ausrechnen. Zum Rest der Aufgabe (weil ich nicht mehr lang da bin): Du hast jetzt ja die Formel für die Füllhöhe bei gegebener Fläche. Wenn Du die Fläche mit der gegebenen Länge 200cm malnimmst, kommst Du auf das Volumen in Kubikzentimetern. Das heißt, Du kannst eine Formel für die Füllhöhe bei gegebenem Volumen aufstellen, die Du dann für die weiteren Aufgabenteile brauchst. Viele Grüße Steffen |
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| 24.05.2013, 17:52 | CilekDudaklim | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Anwendungsaufgabe mit Wassertröge Vielen Dank steffen
hast mir sehr geholfen |
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