Dffglg homogen 2.Ordnung

23.05.2013, 16:14

Herta

Dffglg homogen 2.Ordnung

Wir müssen eine Dffglg lösen und mir ist etwas unklar wie ich das machen soll.

Angabe:
Berechnen Sie die Lösungen der beiden folgenden Differentialgleichungen, wobei nebenstehend eine spezielle Lösung angegeben ist:

$\begin{eqnarray*} y''(t) + \frac{2}{t}y'(t)+y(t)=0\;\;\;;y=y_1=\frac{sint}{t} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das irgendwie nicht. Ich habe eine speziele Lösung von einer homogenen Differenzialgleichung?
Das ist doch dann schon die Antwort oder?
Muss ich da noch etwas rechnen?

Die allgemeine Lösung der hmomogenen Gleichung lässt sich doch schon durch die ANgabe errechnen und durch sint/t habe ich doch auch schon die allgemeine lösung oder nicht?

23.05.2013, 16:37

zyko

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RE: Dffglg homogen 2.Ordnung
Da y(t) und deren Ableitungen in der DGL genau linear auftreten, ist auch $\begin{eqnarray*} y_2(t)=C(t)y_1(t) \end{eqnarray*}$
eine Lösung für die DGL.
Jetzt von $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ die Ableitungen bilden (Produktregel), diese Terme in die DGL einsetzen.
Man erhält eine neue DGL für C'(t), in der noch C''(t) vorkommt.
Mit K(t)=C'(t) erhält man eine gewöhnliche DGL 1.Ordnung mit K(t) und K'(t).

23.05.2013, 16:43

Herta

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Das habe ich alles schon gemacht. Aber ich verstehe nicht wieso.
DIe GLoeichung

$\begin{eqnarray*} y=y_1=\frac{sint}{t} \end{eqnarray*}$

erfüllt doch schon alle Anforderungen. Sie löst die homogene Differentualgleichung:

$\begin{eqnarray*} y''(t) + \frac{2}{t}y'(t)+y(t)=0 \end{eqnarray*}$

in jeder Hinsicht. Wieso muss ich noch einsetzen und das alles machen?
Ich habe doch schon eine Lösung.

ALso ich habe es so verstanden:
die allgemeine Lösung der Dffglg erhält man indem man die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung berechnet und dann durch Variation der Konstanten die spezielle und dann setze ich das C(t) in die allgemeine GLeichung ein und erhalte somit meine ganze Lösung.

Aber da ist doch die Lösung schon vorgegeben oder?

23.05.2013, 16:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Herta
Ich habe doch schon eine Lösung.

Ja, eine - aber nicht alle. Da steht

Zitat:

Original von Herta
Berechnen Sie die Lösungen

P.S.: Geht übrigens einfacher mit Substitution $\begin{eqnarray*} y=\frac{z}{t} \end{eqnarray*}$ als mit dem gegebenen Tipp, aber das ist nur meine persönliche Meinung. Augenzwinkern

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