Diffeomorphismen

23.05.2013, 16:29

10001000Nick1

Diffeomorphismen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \text{Eine Abbildung }\Phi:U\subseteq\mathbb{R}^n\to V:=\Phi(U)\subseteq\mathbb{R}^n\text{ heißt }C^1\text{ Diffeomorphismus, falls: }\\ U,V\text{ sind offen, }\Phi:U\to \Phi(U)=V\text{ ist bijektiv, und } \Phi\in C^1(U,\mathbb{R}^n)\text{ und } \Phi^{-1}\in C^1(V,\mathbb{R}^n).\\\text{ Zeigen Sie: }D\Phi(x)=0\text{ für ein }x\in U\text{ kann nicht vorkommen. Hinweis: Kettenregel.} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da steht ja als Hinweis "Kettenregel". Was soll ich denn hier mit der Kettenregel ableiten? Da sind doch gar keine verketteten Funktion.

Für den 2-dimensionalen Fall kann man sich das ja bildlich gut vorstellen. Wenn eine Funktion eine Stelle mit Ableitung 0 hat, dann wäre die Umkehrfunktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Aber wie mach ich das hier?

23.05.2013, 21:24

Che Netzer

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RE: Diffeomorphismen

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Da sind doch gar keine verketteten Funktion.

Na dann verkette dir mal etwas.
Natürlich so, dass du die Verkettung ableiten kannst.

23.05.2013, 22:09

10001000Nick1

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Naja, eigentlich sind da ja nur zwei Funktionen, nämlich $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}. \end{eqnarray*}$ Also könnte ich $\begin{eqnarray*} \Phi(\Phi^{-1}(x)) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\Phi(x)) \end{eqnarray*}$ nehmen. Beides wäre gleich x. Das erste abgeleitet ist $\begin{eqnarray*} D\Phi(\Phi^{-1}(x))\cdot D\Phi^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ , die zweite Verkettung ist abgeleitet $\begin{eqnarray*} D\Phi^{-1}(\Phi(x))\cdot D\Phi(x). \end{eqnarray*}$
Aber wie bringt mich das jetzt weiter?

23.05.2013, 22:17

Che Netzer

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Betrachte letztere.
Welche Funktion ergibt sich dabei als Verkettung?
Welche Ableitung hat diese (die wiederum muss mit der nach der Kettenregel berechneten übereinstimmen)?

23.05.2013, 22:26

10001000Nick1

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Meinst du $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\Phi(x))=x? \end{eqnarray*}$ Auf beiden Seiten der Gleichung ableiten: $\begin{eqnarray*} D\Phi^{-1}(\Phi(x))\cdot D\Phi(x)=1. \end{eqnarray*}$ Und deswegen kann dann $\begin{eqnarray*} D\Phi(x) \end{eqnarray*}$ nicht 0 sein. Stimmt das so?

23.05.2013, 22:33

Che Netzer

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Ja. Man kann sogar folgern, dass $\begin{eqnarray*} D\Phi(x) \end{eqnarray*}$ invertierbar sein muss.

23.05.2013, 22:37

10001000Nick1

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Das ist ja dann eigentlich ganz einfach. Ich war vorhin sogar fast schon mal so weit, habe dann aber dummerweise x falsch abgeleitet. Ich dachte aus irgendeinem Grund, dass da 0 rauskommt. Frag mich nicht, warum... LOL Hammer

Na gut. Dankeschön für deine Hilfe smile

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