Ähnlichkeits-DGL

23.05.2013, 17:16

Kris_

Ähnlichkeits-DGL

Hey =)

Ich habe folgende Diff.Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y'=tan(x+y)-1 \end{eqnarray*}$
und setze laut Vorgabe
$\begin{eqnarray*} z(x):=x+y(x) \end{eqnarray*}$

Ich hab ja jetzt:

$\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} z'x+z=tan(z)-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich versucht, durch Trennung der Variablen auf die Lsg zu kommen, komm aber hier nicht weiter o.o

$\begin{eqnarray*} \frac{z'}{tan(z)-z-1} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

weil ich den linken Term beim besten Willen nicht integrieren kann.

Bitte um Hilfe! verwirrt

23.05.2013, 17:31

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ähnlichkeits-DGL

Zitat:

Original von Kris_
Hey =)

Ich habe folgende Diff.Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y'=tan(x+y)-1 \end{eqnarray*}$
und setze laut Vorgabe
$\begin{eqnarray*} z(x):=x+y(x) \end{eqnarray*}$

Ich hab ja jetzt:

$\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$

Was schon falsch ist !
unglücklich

$\begin{eqnarray*} y(x)&=&z(x)-x\\y'(x)&=&\cdots\;? \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 11:32

Kris_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja wirklich! War ja ziemlich blöd von mir, von einer Substitution im Buch auf alle anderen zu schließen -.- Danke!

$\begin{eqnarray*} y(x)=z(x)-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=z'(x) - 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

Kann ich jetzt schon gleichsetzen und weitermachen wie ich das schon oben wollte?

Danke!

24.05.2013, 13:00

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kris_
Ach ja wirklich! War ja ziemlich blöd von mir, von einer Substitution im Buch auf alle anderen zu schließen -.- Danke!

$\begin{eqnarray*} y(x)=z(x)-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=z'(x) - 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

Kann ich jetzt schon gleichsetzen und weitermachen wie ich das schon oben wollte?

Danke!

26.05.2013, 15:30

Kris_

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! (Bin bis heute nicht dazu gekommen, mir das nochmal anzuschauen)
Ich mache mal weiter, bitte um Absegnung =)

Aaaalso:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=z'(x)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(zx))-1 = z'(x) - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {z'(x)}{tan(z(x))} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{z'(x)}{tan(z(x))} \, dx =\int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

Hier hänge ich, das linke Integral bereitet mir Sorgen, oder hab ich wieder irgendwas falsch gemacht? :/

Merci!

26.05.2013, 17:27

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
es gilt zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\mathrm tan z}=\dd x \end{eqnarray*}$

die linke Seite nach z und die rechte nach x.

Der Tangens lässt sich auch noch anders schreiben, wodurch die Stammfunktion sofort klar wird.
Wink

26.05.2013, 17:49

Kris_

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich muss das echt üben.

Meinst du die Beziehung

$\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ ?

In diesem Fall hab ich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{z'(x)cos(z)}{sin(z)} \, dz =\int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt partiell integrieren, oder ist es wirklich einfacher?

26.05.2013, 23:52

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kris_
Ok, ich muss das echt üben.

Meinst du die Beziehung

$\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Kris_In diesem Fall hab ich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{z'(x)cos(z)}{sin(z)} \, dz =\int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

Was hat denn hier z'(x) zu suchen ?
$\begin{eqnarray*} z'(x)=\frac{\dd z}{\dd x} \end{eqnarray*}$ und Trennung der Variablen !

Zitat:

Original von Kris_Muss ich jetzt partiell integrieren, oder ist es wirklich einfacher?

Nix partiell integrieren ! Viel einfacher !
Im Zähler steht das Differential der Nennerfunktion !

Neue Frage »

Antworten »

Ähnlichkeits-DGL

Verwandte Themen