Komplexe Ebene, Möbius
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23.05.2013, 17:30 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Ebene, Möbius
In der komplexen Ebene betrachte man eine geometrische Figur F", die aus zwei Geraden und einem Kreis besteht, nämlich aus der reellen und der imaginären Achse und dem zentrierten Einheitskreis.
Finde eine geometrische Figur F, welche aus zwei Kreisen und einer Geraden besteht, nämlich aus dem im Ursprung zentrierten Einheitskreis, einem weiteren Kreis mir Radius 1 , dass Mittelpunkt im ersten Quadranten liegt, und einer Gerade, sowie eine Möbius Transformation T, so dass T(F) =F" gilt.

Kann jemand helfen?
>> Mir fehlt ne Idee, wie ich die Aufgabe loesen kann.
Ein zylinderartiges Gebilde ?
23.05.2013, 21:32 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Der Kreis und die Geraden schneiden sich jeweils orthogonal.
Welchen Kreis mit Mittelpunkt im ersten Quadranten und Radius Eins kannst du dir vorstellen, der den Einheitskreis orthogonal schneidet?
Welche Gerade schneidet diese beiden Kreise orthogonal?
26.05.2013, 11:43 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
der Kreis tim ersten Quadranten und müsste somit auf der Realachse 1 haben, als auch auf der Imaginärachse die 1. Somit hätte dieser Kreis dann auch den Radius 1.
realachse und Imagiärachse wäre dann jeweils Tangenten.
26.05.2013, 11:54 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Ja, also der Kreis mit Radius Eins und Mittelpunkt .

Welche ist nun die Gerade, die beide Kreise orthogonal schneidet?
26.05.2013, 13:35 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Ok, ich habe jetzt um (0,0) den Einheitskreis und den Kreis um M( 1,1+i) mit dem Radius 1 .
Aber welche Anforderungen sollen denn für die Gerade gelten?
Ich sehe die Anforderungen nicht.
26.05.2013, 13:43 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Wie gesagt: Sie muss beide Kreise (je zweimal) orthogonal schneiden.
Im Urbild schneidet sich ja auch alles orthogonal.
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26.05.2013, 13:56 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Dann ist es doch die Winkelhalbierende.
26.05.2013, 13:58 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Ja (die durch den ersten und dritten Quadranten).
Findest du jetzt eine Möbius-Tranformation, die diese Konstellation erzeugt?
26.05.2013, 14:24 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Es ist als die funktionsgleichnung f(x)=x.
Wie bringe ich es aber mit der allgemeinen Moebius Trafo zusammen?
26.05.2013, 14:26 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Zitat:
Original von orangata
Es ist als die funktionsgleichnung f(x)=x.

Was soll "als" die Funktionsgleichung sein?
Meinst du, dass deren Graph die Gerade ist, die wir im Bild erhalten wollen?

Zitat:
Wie bringe ich es aber mit der allgemeinen Moebius Trafo zusammen?

Was soll das heißen?
26.05.2013, 14:41 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
ich weiß nicht, wie ich die bei beiden Kreise und die Gerade y=x mit der Möbiustransformation "zusammenbringen" soll ?
26.05.2013, 14:52 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Die Möbiustransformation wird durch die Bilder von drei beliebigen Punkten bestimmt.
Wenn du z.B. die beiden Urbildgeraden auf die Kreise im Bild abbilden möchtest, auf welche Punkte müssen dann und abgebildet werden?
26.05.2013, 15:00 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Ich verstehe dich nicht wirklich.
Sie müssten doch auf der Geraden y=x liegen, oder?
26.05.2013, 15:02 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Nur im Urbild.
Dort sind es die Schnittpunkte der beiden Geraden.
26.05.2013, 15:07 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Sind es die Punkte auf der Real-bzw Imaginärachse?
26.05.2013, 15:09 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Sind was diese Punkte?
Wenn du die Bildpunkte von Null und Unendlich meinst: Ja, die liegen auf der reellen bzw. imaginären Achse? Wo? Und weshalb?
26.05.2013, 19:55 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
ich habe die Punkte 0, i, und 1 genommen.
als endloesung kommt y = z +(1+i) heraus.

Kann das sein?
26.05.2013, 20:21 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Das wäre eine bloße Translation, damit kann man keine Kreise auf Geraden abbilden.

Fassen wir mal zusammen.
Im Urbild:
Die Geraden schneiden sich in Null und in Unendlich.

Im Bild:
Die Kreise schneiden sich in Eins und in .

Welche beiden Funktionswerte könntest du jetzt bereits wählen?
Welchen dritten kannst du wählen, damit der Kreis auf eine Gerade abgebildet wird?
26.05.2013, 20:59 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Ich könnte 1 und i wählen.
aber wie der Kreis auf der Gerade abgebildet wird, weiß ich nicht.
26.05.2013, 21:02 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Zitat:
Original von orangata
Ich könnte 1 und i wählen.

Das ist schonmal gut, also z.B. und .

Zitat:
aber wie der Kreis auf der Gerade abgebildet wird, weiß ich nicht.

Stell sicher, dass der Kreis auf irgendeine Gerade abgebildet wird. D.h. bilde einen Punkt, der auf dem Kreis, aber nicht auf einer der Geraden liegt, nach Unendlich ab.
26.05.2013, 22:08 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Muss der 3.Punkt im ersten Quadranten liegen?
26.05.2013, 22:12 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
Welcher dritte Punkt? Im Bild oder im Urbild?
27.05.2013, 10:54 orangata Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Ebene, Möbius
ich bin verwirrt.
Ich für das Bild muss gelten 0-->1, unendlich --> i und jetzt halt noch der 3. Punkt.......

Ist denn 0--> 1 und unendlich --> i Urbild oder Bild?
27.05.2013, 12:06 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit meine ich, dass die gesuchte Möbius-Transformation den Punkt Null (im Urbild) auf den Punkt Eins (im Bild) abbildet.
Jetzt brauchst du einen dritten Punkt im Urbild, der wiederum auf einen dritten Punkt im Bild abgebildet wird. Und zwar so, dass der Urbild-Kreis auf die Bild-Gerade abgebildet wird.
27.05.2013, 16:11 orangata Auf diesen Beitrag antworten »

Also 0-->1 und ∞-->i

und zum Beispiel 1-->∞ ?
27.05.2013, 18:11 orangata Auf diesen Beitrag antworten »

∞ soll unendlich sein.
27.05.2013, 19:52 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Eins auf Unendlich abbildest, wird auch eine der Geraden aus dem Urbild im Bild zu einer Geraden.
Die Idee könnte aber stimmen.
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