Hauptraumzerlegung / Jordan Chevalley Zerlegung

23.05.2013, 18:18	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraumzerlegung / Jordan Chevalley Zerlegung Hallo allerseits! Ich habe mal eine Frage. Folgende Aufgabe sollten wir lösen. Im Prinzip ist es mir auch gelungen, aber ich verstehe nicht, wie ich das angeblich hätte einfacher sehen können (siehe Aufgabenstellung). Vielleicht kann mir da jemand helfen. Ansonsten bin ich auch dankbar für eine Kontrolle meines Rechenweges. Ich finde das alles recht verwirrend -- Aufgabe: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zerlegen Sie A in D+N, wobei D diagonalisierbar und N nilpotent ist. Was macht diese Zerlegung für A so einfach? -- Das Fett-Gedruckte habe ich nicht verstanden, hauptsächlich deshalb poste ich hier, möchte aber dennoch mal meinen langsamen Weg erklären, um evtl. vorhandene Fehler auszuräumen. So... also nach langem (wirklich LANGEM) Nachmittaglichen Denksport habe ich schlussendlich (fast) verstanden, wie es funktioniert. Liege ich mit folgendem richtig?: 1. charakteristisches Polynom berechnen. 2. Eigenwerte berechnen. 3. Haupträume berechnen, dann besteht mein S (siehe unten) spaltenweise aus den Haupträumen $\begin{eqnarray} V_1,...,V_n \end{eqnarray}$ . Für obige Matrix ging das aber nicht, da der Hauptraum vom einzigen Eigenwert 2 = V selber war (sprich: ker(A-2E)^3 war bereits der Kern der Nullmatrix). Also habe ich angewandt: Hauptraumstufen und kame auf: ker (A-2E) = span $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Stufe: ker ((A-2E)^2)= span $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , der andere Vektor des Spans ist (1,1,-1), irgendwas ist bei folgendem Quelltext fehlerhaft: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix) \end{eqnarray}$ Wegen der Kern-Enthaltungskette (so nenne ich das mal) habe ich mir den Vektor der ersten Stufe genommen und mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergänzt. Zum kompletten Vektorraum fehlt noch ein Vektor, also ergänze ich meine Vektoren noch mit einem beliebigen (???) linear unabhängigen Vektor, nehmen wir doch einfach mal e2. Insgesamt erhalte ich für mein S: S = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1&0\\-1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ insgesamt komme ich dann über S^-1AS=A'=D'+N', sowie D=SD'S^-1 auf folgendes: A = D + N, wobei D=2E und N = (A-D) Vielen vielen Dank für jede Hilfe!!!!!! PS: Wenn es nur einen Eigenwert 2 gibt, besteht dann ein Zusammenhang damit, dass die gesuchte Diagonalmatrix eben genau A-2E ist?

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