Beweis ausführen

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sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis ausführen
hi lliebe mathematikergemeinde^^ Vielleicht kann mir jemand einen Rat geben wie ich die folgende Aufgabe lösen kann.

Muss einen beweis ausführen. Behandelt wird auf dem Arbeitsblatt der Binomische Lehrsatz und der Limes der Folge (Eine Frage vorab: Gibt es einen Zusammenhang dieser Folge und dem Binomischen Lehrsatz?

Nun muss ich bei einer Aufgabe zeigen, dass



gilt.

Meine Idee:

Vorab: Ich weiss, das ist, den mithilfe der Wurzelgesetze folgt:



Und für Große Zahlen m läuft der Exponent gegen 0 und wie wir alle wissen ist etwas hoch null immer 1 (Ausnahme 0^0).

Jetzt hab ich mir gedacht, das ganze einfach mithilfe Vollständiger Induktion zu zeigen. Doch wie mach ich den Induktionsanfang, wenn er gelten soll?

Denn ist weder größer noch gleich 1. Wo liegt mein Denkfehler bzw. falscher Rechenschritt?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis ausführen
Zitat:
Original von sdfsfds
... der Limes der Folge (Eine Frage vorab: Gibt es einen Zusammenhang dieser Folge und dem Binomischen Lehrsatz?

Na ja, man kann den binom. Lehrsatz nutzen um zu zeigen, dass



Zitat:
Original von sdfsfds
... zeigen, dass



gilt.

Warum jetzt das größer-gleich? Und was soll der Allquantor da bedeuten?


Zitat:
Original von sdfsfds
Meine Idee...
Das ist leider komplett unbrauchbar!

Stattdessen setze und zeige dann

Betrachte dazu:



und folgere aus der gewonnenen Ungleichung.
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis ausführen
Zitat:
Original von Grautvornix

Betrachte dazu:



Wie kommst du darauf wenn ich fragen darf? Gibt es irgendein Stichwort unter dem ich mehr dazu lesen kann?

Ich vermute mal, das Ziel ist es erst einmal die vorgegebenen zwei Terme (links und rechts von der Ungleichung) in Form des Binomischen Lehrsatzes darzustellen. Aber warum? Kannst du dazu vielleicht kurz etwas sagen?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis ausführen
Ein kleiner Tippfehler hatte sich oben eingeschlichen (der Exponent k fehlt dort).

So sollte es eigentlich lauten:
Zitat:




Und das ist nichts als eine simple Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf



mit dem Ziel nur einen, der durchweg positiven, Summanden aus der Summe herauszulösen, um letztendlich eine geeignete Abschätzung für die zu gewinnen.
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Aber das hat mir erst einmal sehr geholfen, da ich nun weiß wo ich anfangen soll. Vielen dank. Eine frage hätte ich noch.

Ist das der Standardbeweis für Ungleichungen die eine Folge beinhalten? Mich würde noch interessieren wie ich dann die neue Ungleichung beweisen kann. Funktioniert das mit der vollständigen Induktion ?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sdfsfds
Jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Aber das hat mir erst einmal sehr geholfen,...
Hmh, was denn nun?
Also Verwirrung zu stiften war jedenfalls nicht meine Intention.
Wenn's irgendwo klemmt, dann sag doch einfach wo und wir sehen weiter.

Zitat:
Original von sdfsfds
Ist das der Standardbeweis für Ungleichungen die eine Folge beinhalten?
Traurig wär's, gäbe es 'den Standardbeweis'.
Da könnte man sich dann ja ebenso gut mit Jura oder so was beschäftigen... Augenzwinkern

Zitat:
Original von sdfsfds
Mich würde noch interessieren wie ich dann die neue Ungleichung beweisen kann. Funktioniert das mit der vollständigen Induktion ?

Wenn Du diese Ungleichung meinst



was soll's da denn jetzt noch zu beweisen geben?
 
 
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir bitte einen Schritt zurück. Kannst du bitte nochmal kurz erklären wie man aus einem vorgegebenen Term bzw. hier einer Folge, den Binomischen Lehrsatz anwendet?

Meine Vermutung :

Du hast hier jetzt zu der Folge -1 +1 dazugerechnet und dann die Klammern des ganzen Termes hoch n genommen. Whrscheinlich um so auf den Term den binomischen Lehrsatz anzuwenden. Aber weshalb ? Welchen Vorteil bringt das? Aus interesse, funktioniert das für jeden beliebigen Term, jeder Folge etc, dass ich in dem ich -1 +1 dazurechne den Binomischen Lehrsatz anwenden kann?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sdfsfds
Gehen wir bitte einen Schritt zurück. Kannst du bitte nochmal kurz erklären wie man aus einem vorgegebenen Term bzw. hier einer Folge, den Binomischen Lehrsatz anwendet?

Setze in



also das allgemeine Folgenglied

und



Zitat:
Original von sdfsfds
Aber weshalb ? Welchen Vorteil bringt das?

Weil sich hier eine zielführende Abschätzung daraus gewinnen lässt.

Zitat:
Original von sdfsfds
Aus interesse, funktioniert das für jeden beliebigen Term, jeder Folge etc, dass ich in dem ich -1 +1 dazurechne den Binomischen Lehrsatz anwenden kann?

Anwenden kannst Du den binom. Lehrsatz immer - fraglich ist nur ob das auch immer was bringt...?!?
Du solltest einfach akzeptieren, dass das Ganze hier so funktioniert was letztendlich auch der Tatsache geschuldet ist, dass eine n-te Wurzel in der Folge mitspielt...
Bei anderen Folgen müssen dann i.d.R. andere Methoden ran.
Nochmal: 'den Standardbeweis' gibt es nicht!
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank, das hat mir jetzt geholfen. Aber, das ist doch sicherlich noch nicht der ganze Beweis oder ? Eeher eine Abschätzung wie du es bereits erwähnt hast. Was folgt danach?

ps: Ich werde jetzt erst einmal bisschen rechnen und scshauen wie weit ich komme. Wenn ich fragen habe, dann stell ich sie hier.
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bin es nochmal. Wie bist du eigentlich auf die linke Seite der Ungleichung gekommen? Außerdem würde mich interessieren, wieso man das macht. Würde das gerne verstehen können.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sdfsfds
Außerdem würde mich interessieren, wieso man das macht. Würde das gerne verstehen können.

Das hatte ich doch gestern schon in meinem ersten Post ausgeführt.
Grundsätzlich wirst Du Dich daran gewöhnen müssen, dass vielen Beweisen Überlegungen vorausgehen, deren Nutzen sich nicht auf Anhieb oder sogar erst im Nachhinein erschließt.



Hier lautet die Behauptung ja:



Um diese zu beweisen setzten wir zunächst und zeigen dann



denn daraus folgt direkt die Behauptung (Grenzwertsätze!).



Um nun zu beweisen, ist es zweckmäßig mit Hilfe des binom. Lehrsatzes folgende Ungleichung herzuleiten:



denn durch eine kleine Umformung folgt daraus:





Jetzt bleibt also nur noch zu zeigen, dass daraus, zusammen mit dem Einschließungskriterium, folgt.
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich hab es jetzt etwas verstanden. Aber ist ist wirklich auf den zehnten Blick immer noch etwas ungewohnt. Kannst du sagen wie du auf folgenden Binomialkoeffizienten kommst:



Außerdem soll es für alle n größer gleich 2 gelten, bezogen auf die Ungleichung die du nach meinem ersten Post aufgestellt hast. Das würde mich noch interessieren.
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis ausführen
Mir ist gerade aufgefallen, dass du meintest das ich folgendes tun soll bevor ich anfange:

Zitat:


Stattdessen setze und zeige dann



Ist das den nicht einfach so, da ist?
Und daraus folgt das ebend 1-1 Null ergibt? Oder was genau soll ich da zeigen?
sdfsfds Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich hab ein super Video auf Youtube dazu gefunden.

Ich werde mir das mal anschauen! Und wenn ich fragen habe dann stell ich diese hier.
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