Jordan Normalform einziger Eigenwert 0 - und nu?

23.05.2013, 20:54

Homer42

Jordan Normalform einziger Eigenwert 0 - und nu?

Guten Abend zusammen und schon mal im Vorfeld 1000 Dank, an jeden, der mir mit diesem unliebsamen Thema zu helfen bereit ist Freude

Und zwar wurde mir folgende Aufgabe gestellt:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C}^4 \rightarrow \mathbb{C}^4 \end{eqnarray*}$ linear, S die Standardbasis und
$\begin{eqnarray*} M(f)^s_s = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & -2 & 1\\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Finden Sie eine Basis B, so dass $\begin{eqnarray*} M(f)^B_B \end{eqnarray*}$ Jordan-Normal-Form hat.

---

So, als allererstes habe ich mal das 0.5 reingezogen, damit mir da nichts passiert. Dann habe ich das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} p_f(x) = x^4 \end{eqnarray*}$ berechnet.

Das bedeutet ja nun, dass 0 einziger Eigenwert mit alg. Vielfachheit 4 ist, meine JNF also nur Nullen auf der Diagonalen hat.
Ok, das Minimalpolynom ist bereits bei x^2 erreicht, weshalb der größte Jordanblock also 2x2 ist.
Außerdem ist dim(Eig(A,0)) = 2, weshalb es zwei Blöcke gibt.

Meine JNF sieht also folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit, so gut Freude

Aber was ich eigentlich will, ist ja die Basis dazu.
Zerlegen wir also unsere Unterräume bezüglich des Eigenwertes 0, so ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} U_1= ker(A-0*E) = ker(A) = span \left (\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ist dann bereits mein gesamter Vektorraum, da

$\begin{eqnarray*} U_2 = ker ((A-0*E)^2) \end{eqnarray*}$ , also der Kern der Nullmatrix ist.

Wenn ich mir meine oberen Vektoren angucke, würde ich nun U1 mit Hilfe von e3 und e4 zu U2 ergänzen. Und dann stecke ich fest.

Als nächstes wäre bei mir die Zerlegung dran:

$\begin{eqnarray*} U_2 = U_1 + W_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 = U_0 + W_1 \end{eqnarray*}$

Aber bisher hatten wir das nie, dass eines der W mehr als eine Dimension hatte.
Mein W2 ist ja nun gerade span(e3,e4) oder nicht?

Dann wäre mein W1 ja gleich U1 und als BAsis würde herauskommen:

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt doch nicht, oder?
Weiß jemand, woran es in meinem Verständnis hapert?
Vielen vielen Dank für jede Hilfe!!!! Gott

23.05.2013, 21:09

Homer42

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Mooooment,

ok ich habe jetzt die W einfach als zweidimensional hingenommen und habe noch daran gedacht, die Bilder hinzuzufügen, habe also noch

(A-0*E)*e3 bzw e4 berechnet und mein W einfach mit Hilfe dieser Bilder aufgespannt.
Dadurch kam ich dann auf folgende Matrix $\begin{eqnarray*} B^-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} B^-1= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und somit auf:

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich probiert, ob B*A*B^-1 meine Jordanform ergibt, was nicht der Fall ist.
Aber es sieht ihr schon garnicht so unähnlich, deshalb wollte ich fragen, ob ich hiermit vielleicht auf dem richtigeren Weg schon bin.
Danke!!

23.05.2013, 21:58

Guppi12

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Hi,
ich bin selber nicht soo der Algebratyp, aber ich denke wir kommen da zusammen durch. Dann kann ich das Thema gleich mit üben Augenzwinkern

Zunächst einmal muss ich fragen, ob du bei der Aufgabenstellung etwas falsch übertragen hast, denn ich komm nicht auf x^4 als Char. Polynom, sondern $\begin{eqnarray*} x^4-\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

23.05.2013, 23:57

Homer42

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Vielen Dank für die Risikofreude smile

Und ja, danke, habe mich oben echt vertippt.. Hammer

Habe es oben korrigiert, es muss natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} M(f)^s_s = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & -2 & 1\\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 00:16

Guppi12

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Zitat:

ok ich habe jetzt die W einfach als zweidimensional hingenommen und habe noch daran gedacht, die Bilder hinzuzufügen, habe also noch

(A-0*E)*e3 bzw e4 berechnet und mein W einfach mit Hilfe dieser Bilder aufgespannt.

Das sieht schonmal ganz gut aus. Wichtig ist aber auch die Reihenfolge der Basis, es müssen immer die Teile der zyklischen Basis, die zusammen gehören nebeneinander stehen.
Kleines Beispiel:

Hast du (F(F(v)), F(v), v, w) als Basisvektoren, so müssen sie genau in dieser Reihenfolge stehen(in der ich sie da gerade angegeben habe). Eine andere Alternative wäre (w, F(F(v)), F(v), v). Wichtig ist, dass die Teile der Basis, die aus abgebildeten Vektoren mit gleicher "Quelle" bestehen, nebeneinander stehen und auch so absteigend geordnet sind. Bei dir müsste also die Anordnung zum Beispiel so sein:

(Ae_3, e_3, Ae_4, e_4).

Allerdings hast du dich doch beim Bild von e_4 auch noch vertan. Das müsste doch die Hälfte davon sein oder?

Ich hoffe ich habe mich so ausgedrückt, dass man es verstehen kann Augenzwinkern

24.05.2013, 09:18

Homer42

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HEy,

vielen lieben Dank soweit! Freude

Ja stimmt, da war ein Rechenfehler drin. War ein langer Tag gestern Big Laugh

Das mit der Reihenfolge verstehe ich nur so halb. Ich entsinne mich, dass das eine Rolle spielt, aber wie genau ich das einordnen soll, ist mir noch etwas rätselhaft.
Was ist denn bei dir genau e3. ist das der Standardvektor (0,0,1,0), oder ist der bereits auf die andere Basis bezogen?
Also was ich bei mir gemacht habe, ist ja folgendes:

Ich habe Mein W1 ergänzt, so dass es eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ wird. Deshalb habe ich die Basisvektoren der STandardbasis, also (0,0,1,0) und (0,0,0,1) hinzugefügt.
Also habe ich in meiner neuen Basis folgende Spaltenvektoren: (Ae_3, Ae_4, e_3, e_4), was ja die falsche Reihenfolge ist, stimmts?
Nach Korrektur meiner Rechenfehler und der Übernahme deiner Reihenfolge kam es tatsächlich hin!! Gott

Aber wie genau ich das mit der Reihenfolge mache, habe ich noch nicht durchstiegen.
Kann man es so ausdrücken?:
Es stehen immer erzeugtes Bild des Vektors und der Vektor nebeneinander, und zwar immer in der Kette der Bilderzeugung. Bei mir ist es nunmal nur je ein Bild. Die zwei Dimensionen habe ich richtig verarbeitet, nur dass dann dennoch jeweils ein Bild neben seinem zugehörigen ergänzten Vektor stehen muss.
Klappt das oder reime ich mir da eine Regelmäßigkeit zusammen? Big Laugh

24.05.2013, 11:15

Guppi12

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Zitat:

Was ist denn bei dir genau e3. ist das der Standardvektor (0,0,1,0), oder ist der bereits auf die andere Basis bezogen?

Ich meinte den Standardbasisvektor.

Zitat:

Ich habe Mein W1 ergänzt, so dass es eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ wird. Deshalb habe ich die Basisvektoren der STandardbasis, also (0,0,1,0) und (0,0,0,1) hinzugefügt. Also habe ich in meiner neuen Basis folgende Spaltenvektoren: (Ae_3, Ae_4, e_3, e_4), was ja die falsche Reihenfolge ist, stimmts?

Ja, die Grundidee ist aber komplett richtig. Du hast auf jedenfall schon die richtigen Vektoren zur Bildung der Basis ausgewählt. Das einzige, was du noch verstehen musst, ist die Reihenfolge.

Zitat:

Es stehen immer erzeugtes Bild des Vektors und der Vektor nebeneinander, und zwar immer in der Kette der Bilderzeugung. Bei mir ist es nunmal nur je ein Bild. Die zwei Dimensionen habe ich richtig verarbeitet, nur dass dann dennoch jeweils ein Bild neben seinem zugehörigen ergänzten Vektor stehen muss.

Ich denke du hast es richtig verstanden, es muss sich aber noch festigen. Mach doch am besten gleich noch ein Beispiel und komm mit Fragen wieder hier rein, falls was nicht passt.

28.05.2013, 15:04

Homer42

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Hey,

besser spät als nie: Vielen Dank! smile

War übers Wochenende weg, deshalb kommt das erst jetzt. Du hast mir sehr geholfen, auf unserer nächsten Hausübung ist nochmal relativ viel zu dem Thema, da kann ich mich ja nochmal dran ausprobieren smile

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