Verrückte Gleichungssysteme - je nach Weg verschiedene Ziele

23.05.2013, 22:49

Klondijk457

Verrückte Gleichungssysteme - je nach Weg verschiedene Ziele

Hallo allerseits,
Ich habe hier ein Gleichungssystem, das zu 2 verschiedenen "Lösungsgleichungssystemen" führt. Das ist doch nicht normal...

Also gegeben seien:
$\begin{eqnarray*} H~=~{{k_1+k_2}\over{2}}~,~~K~=~k_1 k_2 \end{eqnarray*}$

Ich wollte nun "k_i" mit H und K ausdrücken.
Irgendwann kommt man auf
$\begin{eqnarray*} 4H^2-2K-k_1^2-k_2^2~=~0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun für ein k
$\begin{eqnarray*} k_1~=~2H-k_2 \end{eqnarray*}$
einsetze, erhält man die Lösungsgleichung
$\begin{eqnarray*} k^2-2Hk+K~=~0 \end{eqnarray*}$
mit 2 Lösungen
$\begin{eqnarray*} k_{1/2}~=~H \pm \sqrt{H^2-K} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich aber für k
$\begin{eqnarray*} k_1~=~K/k_2 \end{eqnarray*}$
einsetze, kommt diese Lösungsgleichung
$\begin{eqnarray*} k^4-(4H^2-2K)k^2+K^2~=~0 \end{eqnarray*}$
mit 4 Lösungen
$\begin{eqnarray*} k_{1/2/3/4}~=~ \pm \sqrt{2H^2-K \pm 2H\sqrt{H^2-K}} \end{eqnarray*}$
heraus.
(Jeweils eine Kombination von "+" & "-" pro Lösung!)

Bei der k^4-Gleichung kommt auch, teils bis auf's Vorzeichen, gleiches wie bei der k^2-Gleichung heraus, wenn man sich nicht zu weit hinaus wagt, wobei H und K eigentlich garnicht weiter beschränkt sind..
Aber allein schon die unterschiedliche Anzahl von Lösungen verwirrt mich.
Was ist denn da los?

MfG Klondijk457

24.05.2013, 06:18

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit1: Das war morgendlicher Blödsinn. geschockt

Edit2:

Zitat:

Original von Klondijk457

Wenn ich aber für k
$\begin{eqnarray*} k_1~=~K/k_2 \end{eqnarray*}$
einsetze, kommt diese Lösungsgleichung
$\begin{eqnarray*} k^4-(4H^2-2K)k^2+K^2~=~0 \end{eqnarray*}$
mit 4 Lösungen

Wo hast du denn $\begin{eqnarray*} k_1~=~K/k_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} k_1~=~K/k_2 \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} H~=~{{k_1+k_2}\over{2}} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann kommt ebenfalls $\begin{eqnarray*} k_{21/22}~=~H \pm \sqrt{H^2-K} \end{eqnarray*}$ heraus.

$\begin{eqnarray*} k_{21} \end{eqnarray*}$ steht für die eine Lösung von $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} k_{22} \end{eqnarray*}$ für die andere Lösung von $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ .

Grüße.

24.05.2013, 08:44

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Edit1: Das war morgendlicher Blödsinn. geschockt

Da geb ich dir recht, außer in dem Detail, dass der Thread ja schon gestern abend aufgemacht wurde... Big Laugh

Klondijk457 begeht da den alten Fehler, dass er/sie zwischendurch mal quadriert (nur so kommt man ja auf die Gleichung 4.Grades!) und sich dann wundert, dass Scheinlösungen dazukommen...

In einfacherer Form sieht man diesen Fehler an der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\sqrt 4 \end{eqnarray*}$ , welche offensichtlich nur die Lösung x=2 hat... Wenn man aber quadriert, was dann zur Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ führt, so kommt die Scheinlösung x=-2 dazu...

24.05.2013, 18:31

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Höhö. Ich erhalte mir eben den ganzen Tag über ein morgentliches Gefühl..

Also wenn ich H direkt in K, oder K in H einsetze komme ich auch nur auf die eine, richtige Gleichung.
Da k1 und k2 überall "symmetrisch"/"kommutierbar" (oder wie ich das nennen soll) auftauchen, muss dabei ja die eine Lösung für k1 der anderen von k2 entsprechen.

Aber ich habe jeweils H oder K in diese Gleichung,
$\begin{eqnarray*} 4H^2-2K-k_1^2-k_2^2~=~0 \end{eqnarray*}$ ,
eingesetzt.
Natürlich habe ich da quadriert. Aber was mich wundert, ist, dass keine der dann erhaltenen Lösungen einer der richtigen entspricht.

Ist es denn auch möglich, dass bei potenzierten Gleichungen letztendlich alle Lösungen Scheinlösungen sind??
Dass es welche gibt, finde ich nachvollziehbar, aber dass keine echte dabei ist, schon weniger..

25.05.2013, 00:14

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Klondijk457
Natürlich habe ich da quadriert. Aber was mich wundert, ist, dass keine der dann erhaltenen Lösungen einer der richtigen entspricht.

Hm, du glaubst tatsächlich, unter den nachfolgenden 4 Lösungen

Zitat:

Original von Klondijk457
$\begin{eqnarray*} k_{1/2/3/4}~=~ \pm \sqrt{2H^2-K \pm 2H\sqrt{H^2-K}} \end{eqnarray*}$

wären die richtigen nicht dabei? verwirrt

Ok, dann schauen wir uns das mal etwas genauer an:

$\begin{eqnarray*} k_{1/2/3/4}~=~ \pm \sqrt{2H^2-K \pm 2H\sqrt{H^2-K}}~=~ \pm \sqrt{H^2 \pm 2H\sqrt{H^2-K}+(\sqrt{H^2-K})^2} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~=~ \pm \sqrt{\left(H\pm\sqrt{H^2-K}\right)^2}~=~ \pm \left(H\pm\sqrt{H^2-K}\right) \end{eqnarray*}$

Und ob sie dabei sind, friedlich vereint mit den zwei Scheinlösungen! Big Laugh

25.05.2013, 01:25

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Aiaiaiai,
Ich danke dir!
Das sieht natürlich durchaus nachvollziehbar aus...
Ich wurde durch das nummerische Vergleichen schon demotiviert.

Ich habe hier testweise für H und K jeweils Werte von -100 bis 100 genommen und dann "Lösungen1 - Lösungen2" berechnet (die jew. möglichst identischen).
Aber was ist dann von den Werten zu halten, die nicht "0" sind??

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1.013 & -0.334 & -0.2 \\ 0 & 0 & 0 & -3.122 & -1.004 & -0.601 \\ 0 & 0 & 0 & -5.359 & -1.678 & -1.003 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das macht ja für mich keinen Sinn - ist ja auch bald wieder morgens...

25.05.2013, 23:42

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ernsthaft, ich glaube nicht, dass ich mich vertippt habe, oder derartiges..
Kann sich mal bitte jemand die Lösungen plotten?!
Also die müssten doch wenn schon identisch auch überall identisch sein, oder wie?!

26.05.2013, 10:29

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder auch ohne Plotten:
..Man wird ja wohl nicht einfach das Vorzeichen vernachlässigen dürfen, - denn wir haben es hier genau genommen mit dem Betrag zu tun...
Das richtige Ergebnis lautet also:
$\begin{eqnarray*} ...~=~ \pm | H\pm\sqrt{H^2-K} | \end{eqnarray*}$

Man kann sich das so erklären, dass die Lösungsmengen hier anders auf die jew. Lösung aufgeteilt werden, wenn ich das richtig sehe.
Also bleibt die Frage: Was ist hier los? - Insgesamt 6 Lösungen ?!?
Bzw. ist es also doch möglich, dass die 4 der höheren Ordnung alle Scheinlösungen sind!?

Einfach mal testen:
Die Lösungen von "k21" bis "k24" der "k^4-Gleichung" seien wie folgt durchgezählt: Erst "-" dann "+", erst innen, dann außen.
Nun in
$\begin{eqnarray*} 4H^2-2K-k_1^2-k_2^2~=~0 \end{eqnarray*}$
einsetzen, und schauen dass auch "0" heraus kommt:

Das stimmt erstmal sowieso für (k11, k12) der "k^2-Gleichung".
Außerdem stimmt's für (k21, k23), (k22, k23), (k21, k24), (k22, k24) der "k^4-Gleichung".
Und dazu auch für: (k11, k21), (k11, k22), (k12, k23), (k12, k24)!

Also wirklich, wenn das nicht verwirrend ist... Tanzen

Wenn man das nur in die "K(k1, k2)" oder "H(k1, k2)" einsetzt, stimmt keine "k^4-Lösung"!
...Also doch alles Scheinlösungen...(?!)
..Aber man kann ja gleich von
$\begin{eqnarray*} 4H^2-2K-k_1^2-k_2^2~=~0 \end{eqnarray*}$
ausgehen...

MfG Klondijk457

26.05.2013, 19:02

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Also jemand der nur Selbstgespräche führt ist wirklich verwirrt...
Aber das muss ja nicht sein. Hat denn sonst keiner eine Meinung dazu?!
Ich werd' wohl nicht der erste sein, dem sowas aufgefallen ist, -wenn doch, dann bitte gerne. Wie wär's mit "Klondijksch Scheinlösungsformel 457" als Name dafür.. Big Laugh

MfG Klondijk457

27.05.2013, 08:42

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Klondijk457
Oder auch ohne Plotten:
..Man wird ja wohl nicht einfach das Vorzeichen vernachlässigen dürfen, - denn wir haben es hier genau genommen mit dem Betrag zu tun...
Das richtige Ergebnis lautet also:
$\begin{eqnarray*} ...~=~ \pm | H\pm\sqrt{H^2-K} | \end{eqnarray*}$

Ich sehe schon lange keinen Sinn mehr hinter dieser Diskussion, zumal aus meiner Sicht alles schon gesagt wurde und ich mich auch überhaupt nicht mehr auskenne, trotzdem noch ein Kommentar zu obigem:

Man muss einfach alle Vorzeichenmöglichkeiten durchgehen und dabei beachten, ob der Ausdruck unter den Betragsstrichen für die jeweilige Wahl von H und K nichtnegativ oder negativ ist... Im ersten Fall, kann man die Betragsstriche durch runde Klammern ersetzen und hat die 2 Lösungen und die 2 Scheinlösungen, im zweiten Fall kehren sich nach Weglassen der Beträge die Vorzeichen um, aber auch hier hat man wieder (wenn auch in anderer Reihenfolge! ) die zwei richtigen Lösungen und die 2 Scheinlösungen...

Edit: Es könnte sein, dass deine Verwirrung vor allem daher kommt, dass in Abhängigkeit von der Wahl von H und K (wobei insbesondere noch darauf geachtet werden muss, dass H²-K nicht negativ ist!) die echten Lösungen und die Scheinlösungen an verschiedenen Positionen auftauchen können, wenn man die 4 Lösungen in irgendeiner festen Reihenfolge durchnummeriert...

27.05.2013, 18:42

Klondijk457

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke auch, wir können hier schluss machen.. Ich habe mich inzwischen selbst davon überzeugt, dass alle "k^4"-Lösungen, als jew. ganze, Scheinlösungen sein müssen.
-Warum auch nicht..

Die 4 Gleichungen lassen sich eben nicht, gerade wegen dem |..|, auf die "k^2"-Lösungen reduzieren, ohne den Bereich jeweils einzugrenzen. Das meinte ich mit dem "nicht zu weit hinaus wagen".
Wie du schon richtig sagst, ist das nur möglich solange kein Vorzeichenwechsel innerhalb der |..| stattfindet. Da das aber passieren kann, vermischen sich, wie gesagt, die "k^2"-Lösungen. Dh. (-wenn überhaupt-) pro "k^4"-Lösung ist mal die eine, mal die andere "k^2"-Lösung identisch, je nach H und K..
Ist vielleicht auch etwas eine Frage der Anschauung, aber jede für sich, ohne Fallunterscheidung, also als Einheit, stellen die "k^4"-Lösungen nur Scheinlösungen dar, würde ich sagen.
Aber auf jeden Fall: Danke! -Wer weiß ob und wann ich das andernfalls durchgerechnet hätte..

MfG Klondijk457

Neue Frage »

Antworten »

Verrückte Gleichungssysteme - je nach Weg verschiedene Ziele

Verwandte Themen