AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?

23.05.2013, 23:16

bloodybeginner

AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?

Hallo an alle.

Ich musste in Aufgabenteil a) die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser matrix berechnen (bzw. die Matrix diagonalisieren)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So das ging ja sehr leicht, ich habe Eigenverte: 1 und -2 und die Eigenvektoren dazu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Teil b) soll ich aber jetzt, mit Hilfe davon das AWP lösen:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = Ax \end{eqnarray*}$ , womit die gegebene Matrix gemeint ist..

Ich weiss nicht ganz genau, was ich jetzt überhaupt machen soll :S

24.05.2013, 08:13

klarsoweit

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
Typischerweise macht man den Ansatz $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{\lambda_i \cdot t} \cdot x_i \end{eqnarray*}$ mit den Eigenwerten lambda_i und Eigenvektoren x_i (i = 1, 2) .

Und ab damit in den Hochschulbereich.

24.05.2013, 11:41

bloodybeginner

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
HMmm oke,

also wäre das ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{t} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{t} \\ e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-2t} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-2t} \\ -e^{-2t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

UNd das ist die Lösung oder was :S? Oder kann man hier noch mehrere Schritte machen??

24.05.2013, 11:52

bloodybeginner

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
Oh ja ich habe hier jetzt noch eine Frage, hab zufällig ein ähnliches Beispiel gefunden.

Sind das dann zwei verschiedene Lösungen für das AWP oder werden die addiert, also das die Lösung quasi:

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{\lambda_1 t} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} +e^{\lambda_2 t} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie ergeben sich denn die Konstaten aus dem AWP :S?

24.05.2013, 11:59

klarsoweit

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
Da es sich um ein lineares System handelt, ist natürlich die allgemeine Lösung eine Linearkombination aus den Basislösungen:

$\begin{eqnarray*} x(t) = c_1 \cdot e^{\lambda_1 t} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \cdot e^{\lambda_2 t} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die Konstanten des AWP ergeben sich aus den Anfangswerten. smile

24.05.2013, 12:12

bloodybeginner

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
Ok, nur um sicher zu gehen,dass ich alles richtig mache:
$\begin{eqnarray*} <br /> x(t) = C_1e^{-2t} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{t} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1e^{-2t}+ C_2 e^{t} \\ C_1e^{-2t} - C_2 e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(oben hatte ich die Eigenvektoren zufällig vertauscht)

Also haben wir, dass

$\begin{eqnarray*} C_1e^{-2t}+ C_2 e^{t} = x_1(t) \end{eqnarray*}$ ist, stimmt das soweit?

Die Anfangsbedingung war: $\begin{eqnarray*} x(0) = x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1(0) = C_1e^{-2x_0}+ C_2 e^{x_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(0) = C_1e^{-2x_0}- C_2 e^{x_0} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

24.05.2013, 12:37

bloodybeginner

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?
und wie kommt man denn dann auf die Konstanten :S, weil dann steht ja nur:

$\begin{eqnarray*} C_1e^{-2x_0}+ C_2 e^{x_0} = x_1(0) \end{eqnarray*}$
Da verschindet nichts und dann habe ich die konstante abhängig von der e funktion :S??

24.05.2013, 12:57

klarsoweit

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RE: AWP von matrix mit hilfe der Eigenvektoren berechnen?

Zitat:

Original von bloodybeginner
Ok, nur um sicher zu gehen,dass ich alles richtig mache:
$\begin{eqnarray*} <br /> x(t) = C_1e^{-2t} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{t} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1e^{-2t}+ C_2 e^{t} \\ C_1e^{-2t} - C_2 e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(oben hatte ich die Eigenvektoren zufällig vertauscht)

Hm. Also ich würde sagen, jetzt hast du Eigenvektoren vertauscht.

Zitat:

Original von bloodybeginner
Die Anfangsbedingung war: $\begin{eqnarray*} x(0) = x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1(0) = C_1e^{-2x_0}+ C_2 e^{x_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(0) = C_1e^{-2x_0}- C_2 e^{x_0} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

Was macht denn das x_0 im Exponenten der e-Funktion.? verwirrt

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} x_1(0) = C_1e^0 + C_2 e^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(0) = -C_1e^0 + C_2 e^0 \end{eqnarray*}$

Und wie man leicht sieht, ist das ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Augenzwinkern

24.05.2013, 13:40

bloodybeginner

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Also ist:

$\begin{eqnarray*} C_2 = \frac{x_1(0) + x_2(0)}{2} \end{eqnarray*}$
?

24.05.2013, 13:54

klarsoweit

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Ja.

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