Algebraische Gleichung höheren Grades |
| 24.05.2013, 08:44 | Mohnblümchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Algebraische Gleichung höheren Grades Hallo, ich habe hier zwei Beispiele gegenüber gestellt und verstehe nicht warum bei dem einen Beispiel eine leere Lösungsmenge herauskommt und bei dem anderen ein Ergebnis: Meine Ideen: 5x³ + 2,56 = 0 /-2,56 5x³ = -2,56 /:5 x³ = -0,512 /-³Wurzel x = -0,8 L = {-0,8} 3x^4 + 234 = 0 /-243 3x^4 = -243 /:3 x^4 = -81 /-^4Wurzel x = -3 Richtiges Ergebnis ist allerdings: L={} Und ich frage mich woran das liegt? Warum ist das so? Vielen Dank im Voraus! Liebe Grüße Mohnblümchen |
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| 24.05.2013, 08:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ist statt -81. Geradzahlige Potenzen reeller Zahlen sind immer nichtnegativ, also kann man abschätzen für alle , damit kann insbesondere auch nie Null herauskommen. |
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| 24.05.2013, 09:36 | Mohnblümchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, vielen Dank für deine rasche Antwort! :-) Aber verstanden habe ich es leider trotzdem noch nicht ganz. 
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| 24.05.2013, 10:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass die 4. Wurzel aus -81 nicht -3 sein kann, kann mittels der Gegenprobe schnell erkannt werden: Demnach müsste ja wieder werden. Also (-3)*(-3)*(-3)*(-3) = -81 Was fällt dir auf? (Die Anzahl der Faktoren ist gerade) mY+ |
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| 24.05.2013, 12:29 | Mohnblümchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achsooo, jetzt verstehe ich es! Danke!! :-) Nun habe ich eine andere Frage: Mittlerweile kann ich Gleichungen höheren Grades ohne Absolutglied lösen. Ein Problem habe ich wenn das Absolutglied dabei ist. Hier mein Beispiel: x³ - 3x³ - 6x + 8 = 0 ...Ich soll durch "Probieren" den ganzzahligen Teiler des absoluten Gliedes herausfinden. Aber wie? Was genau ist damit gemeint? Mein absolutes Glied in diesem Beispiel ist die 8. Die 8 lässt sich durch -/+1, -/+2, -/+4 und -/+8 teilen - vorausgesetzt, ich habe es an dieser Stelle richtig verstanden. Ich könnte es mir doch im Prinzip aussuchen welchen Teiler ich davon nehme, oder nicht? Könnte ich nicht auch zB. -4 nehmen? Vom Gefühl her würde ich jetzt auf -2 tippen, aber ich könnte es nicht begründen weshalb. x-x1 x-(+2) = -2 Pfff...solange ich das nicht enträtselt habe, komme ich nicht zu dem Punkt, dass ich das Horner Schema lerne. Wo sich mir die nächste Frage stellt...Habe ich das richtig verstanden? Das Horner-Schema ist nur eine Vereinfachung der Polynomdivision? |
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| 24.05.2013, 17:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man nutzt hier folgende Eigenschaft:
(Leicht beweisbar durch elementare Teilbarkeitsbetrachtungen.) Aber bitte nicht (wie es häufig geschieht) falsch lesen, dass eine solche Gleichung auch stets rationale Lösungen haben muss - mitnichten.
Soweit richtig.
"Raussuchen" eigentlich nicht: Die Eigenschaft oben besagt nur, dass es nur Zweck hat, ganzzahlige Lösungen unter den Teilern der 8 zu suchen. Sie sagt nicht, welcher das ist, oder ob es überhaupt einen solchen gibt. Wenn z.B. keiner der Teiler -/+1, -/+2, -/+4 und -/+8 eine Lösung der Gleichung ist, dann hast du zumindest die Gewissheit, dass es gar keine rationalen Lösungen dieser Gleichung gibt. Und zu "tippen" gibt es hier nichts: Einsetzen ins Polynom und überprüfen, ob Null rauskommt - dann und nur dann ist der Wert eine Lösung der Gleichung.
Ich nehme außerdem an, dass du dich hier verschrieben hast und tatsächlich x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 d.h. meinst. 
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| 26.05.2013, 12:07 | Mohnblümchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich danke euch!! Ihr habt mir sehr geholfen! 
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