Integral Konvergenz

24.05.2013, 11:18

hoernchen

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Integral Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

ich habe gerade einen Übungszettel zur Konvergenz von Integralen. Die meisten Aufgaben habe ich auch gelöst, doch bei einigen komme ich nicht weiter. Deshalb würde ich mich über Hilfe sehr freuen.

1. Bestimme, ob das Integral konvergiert oder divergiert für die
Werte
a) a=2
b) a=7
Das Integral ist dieses hier: $\begin{eqnarray*} \int_a^\infty \! \frac{1}{x^{2}-4x+3 } \, dx \end{eqnarray*}$

2. Bestimmme für welche positiven Werte von a das Integral konvergiert:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}x}{x^{a} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für die erste Frage habe ich versucht das Integral $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ zur Hilfe zu nehmen, komme damit aber nicht wirklich weit.
Außerdem weiß ich, dass das urspüngliche Integral eine nicht definierte Stelle hat bei $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ . Daher habe ich überlegt das Integral für den Wert a=2 aufzuteilen in: $\begin{eqnarray*} \int_2^3\ \! \frac{1}{x^{2}-4x+3 } \, dx + \int_3^\infty \ \! \frac{1}{x^{2}-4x+3 } \, dx \end{eqnarray*}$ . Aber auch damit komme ich nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp in die richtige Richtung geben?

Bei der zweiten Frage hatte ich versucht drei Fälle zu unterscheiden: $\begin{eqnarray*} a<1 , a=1 , a>1 \end{eqnarray*}$ . Aber auch da finde ich keinen vernünftigen Ansatz.

Ich würde mich freuen, wenn mir hier jemand einen Ansatz in die richtige Richtung geben würde. Danke!

24.05.2013, 11:35

Leopold

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Versuche es bei 1.a) mit einer Partialbruchzerlegung und bei 1.b) mit einer Abschätzung.

24.05.2013, 11:59

hoernchen

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Also, nach der Partialbruchzerlegung habe ich $\begin{eqnarray*} \int_2^\infty \! \frac{1}{2(x-3)} \, dx - \int_2^\infty \! \frac{1}{2(x-1)} \, dx \end{eqnarray*}$ .
Dann rechne ich die Integrale aus und erhalte $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}) ( \lim_{b \to \infty } ln(b-3)-ln(2-3))) - \frac{1}{2} ( \lim_{d \to \infty } ln(d-1)-ln(2-1)) \end{eqnarray*}$ .
Aber, $\begin{eqnarray*} ln(-1) \end{eqnarray*}$ ist doch gar nicht definiert...

Bei der Abschätzung ins 1b komme ich übrhaupt nicht weiter. Hatte das vorher schon versucht. Folgerndermaßen:
$\begin{eqnarray*} \int_7^\infty \! \frac{1}{x^{2} -4x+3} \, dx < \int_7^\infty \! \frac{1}{x^{2}-4x } \, dx \end{eqnarray*}$ . Ich weiß, dass das Integral $\begin{eqnarray*} \int_7^\infty \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ konvergiert,, jedoch ist dieses kleiner als das ursprüngliche Integral und daher kann ich diese Aussage nicht verwenden..

Ich weiß hier nicht weiter. Wo liegt mein Fehler?

24.05.2013, 12:12

hoernchen

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zu 1b)
geht es vielleicht auch so?

Ich definiere: $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{2}-4x+3 } \end{eqnarray*}$
Nun rechne ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2} }{x^{2}-4x+3 } = 1 \end{eqnarray*}$
Der Grenzwert liegt zwischen Null und unendlich. Daher weiß ich, dass f(x) konvergiert, weil auch g(x) konvergiert.

Würde das gleiche nun auch für a=2 gelten?

24.05.2013, 12:13

Leopold

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Bei 1.b) vielleicht so: $\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 > (x-3)^2 \end{eqnarray*}$ (Nachweis durch Äquivalenzumformungen). Danach Übergang zum Kehrwert.

Bei 1.a) darf man nicht einfach so über Definitionslücken hinwegintegrieren. Die Definitionslücke ist $\begin{eqnarray*} x_0=3 \end{eqnarray*}$ . Es genügt, wenn du den dafür verantwortlichen Summanden auf Konvergenz an der Definitionslücke untersuchst. Was ist also mit

$\begin{eqnarray*} \int_2^{3 - \varepsilon} \frac{1}{2(x-3)} ~ \dd x \ \ \mbox{für} \ \ \varepsilon \to 0 \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 12:24

hoernchen

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zu 1b) Ich verstehe leider nicht, was du meinst.

zu 1a)

Das heißt so: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}) \lim_{b \to 3-} ln(b-3) = -\infty \end{eqnarray*}$ . Dieses Integral divergiert und deshalb divergiert auch $\begin{eqnarray*} \int_2^\infty \! \frac{1}{x^{2}-4x+3 } \, dx \end{eqnarray*}$

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24.05.2013, 12:44

Leopold

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Bei 1a) fehlen Betragsstriche im Argument des Logarithmus. Das Ergebnis jedoch stimmt. Ob man hier von Divergenz oder Konvergenz reden sollte, bin ich mir nicht sicher, da die Komplikationen ja nicht am Rande des Integrationsintervalls liegen. Ich würde einfach sagen: Das Integral existiert nicht.

Zu 1b):

$\begin{eqnarray*} \int_7^{\infty} \frac{\dd x}{x^2 - 4x + 3} < \int_7^{\infty} \frac{\dd x}{(x-3)^2} = \int_4^{\infty} \frac{\dd x}{x^2} < \infty \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung könntest du den exakten Wert des Integrals sogar bestimmen.

24.05.2013, 12:59

hoernchen

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Oh ja, die Betragsstriche habe ich vergessen.
Danke dir! Habe 1b nun verstanden. 1a werde ich mir später nochmal anschauen.

Hast du vielleicht noch eine Idee zu Aufgabe 2?

24.05.2013, 13:17

Leopold

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Bei der zweiten Aufgabe kannst du für $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ doch schnell eine Majorante angeben.

24.05.2013, 13:46

hoernchen

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So?

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}(x) }{x^{a} } \, dx \leq \int_1^\infty \! \frac{1}{x^{a} } \, dx \end{eqnarray*}$ weil

$\begin{eqnarray*} sin^{2}(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$

Die Majorante konvergiert und daher konvergiert auch das gegebene Integral.

Zu $\begin{eqnarray*} a \leq 1 \end{eqnarray*}$ konnte ich bisher passende Majorante/Minorante finden.

24.05.2013, 13:59

hoernchen

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Ich denke, dass ich Aufgabe 2 nun gelöst habe mit Hilfe der Approximation $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}(x) }{x^{a} } \, dx = \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{x^{2} }{x^{a} } \, dx \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß leider nicht, wie man das gewellte Gleichzeichen macht.

Ich danke Dir für deine Hilfe!

24.05.2013, 14:03

Leopold

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Zitat:

Original von hoernchen
Ich denke, dass ich Aufgabe 2 nun gelöst habe mit Hilfe der Approximation $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}(x) }{x^{a} } \, dx = \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{x^{2} }{x^{a} } \, dx \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich nicht.

Den Fall $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ könnte man mit einem Widerspruchsbeweis erledigen. Würde nämlich $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ konvergieren, so erhielte man mittels partieller Integration:

$\begin{eqnarray*} 2 \int_1^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x} ~ \dd x = \sin 1 \cdot \cos 1 + \int_1^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{\sin x \cdot \cos x}{x^2} \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{\sin x \cdot \cos x}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ aber sicher konvergiert (Majorante offensichtlich), würde das die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{\dd x}{x} \end{eqnarray*}$ nach sich ziehen. Widerspruch!

24.05.2013, 14:31

hoernchen

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Ich meinte natürlich, dass für a<1 das Integral divergiert. Da a < 1:

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}(x) }{x^{a} } \, dx = \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{x^{2} }{x^{a} } \, dx = \int_1^\infty \! x^{2-a} \, dx = \infty \end{eqnarray*}$ und deshalb divergiert das Integral für a<1.

Edit: Das ist ja völliger Quatsch, den ich hier gerade geschrieben habe. Ich schaue es mir nochmal an.

Edit: So sollte es doch stimmen, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{sin^{2}(x) }{x^{a} } \, dx = \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! \frac{x^{2} }{x^{a} } \, dx = \lim_{b \to \infty } \int_1^\infty \! x^{2-a} \, dx = \infty \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 14:49

Leopold

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Ich verstehe kein Wort. Zunächst vermute ich, daß die obere Grenze der Integrale $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein soll. Sonst könnte ich mir den Limes für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ nicht erklären. Aber was dann kommt, ist mir echt schleierhaft. Kann es sein, daß du $\begin{eqnarray*} \sin x \approx x \end{eqnarray*}$ annimmst? Das gilt doch aber nur für $\begin{eqnarray*} x \approx 0 \end{eqnarray*}$ . Wir haben hier jedoch $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

24.05.2013, 18:21

hoernchen

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Ja, mit der oberen Grenze hast du Recht. Da habe ich mich verschrieben.
Ja ich habe $\begin{eqnarray*} \sin x \approx x \end{eqnarray*}$ angenommen. In meinen Unterlagen steht nämlich, dass das für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Dann muss ich mir das falsch notiert haben..

24.05.2013, 18:28

Leopold

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Zitat:

Original von hoernchen
Ja ich habe $\begin{eqnarray*} \sin x \approx x \end{eqnarray*}$ angenommen. In meinen Unterlagen steht nämlich, dass das für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Das soll wohl "für $\begin{eqnarray*} x \approx 0 \end{eqnarray*}$ " oder "für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ " heißen.
Aber selbst wenn das oben in deinen Unterlagen steht, hättest du das nie glauben dürfen, denn jeder Anschein spricht dagegen. Die Sinusfunktion schlängelt sich in immer gleichen Bögen um die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse herum, während die Parabel ins Unendliche wegflutscht.

Ganz wichtig: Nicht einfach irgendwas rechnen, sondern immer versuchen, damit eine Vorstellung zu verbinden. Alles andere führt in der Mathematik irgendwann in die Katastrophe.

25.05.2013, 11:53

hoernchen

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Da hast du Recht! Ich sollte meine arbeitsweise wohl nochmal überarbeiten...
Danke dir!

28.05.2013, 13:54

hoernchen

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Ich muss diesen Thread nochmal ausgraben. Ich hab naemlich Aufgabe 2 fuer $\begin{eqnarray*} 0<a\leq 1 \end{eqnarray*}$ immernoch nicht geloest und habe auch keine Ahnung, wie es gehen soll. Koennte mir bitte jemand weiterhelfen?

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