f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B)

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24.05.2013, 15:02	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B) Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:X \longrightarrow Y \end{eqnarray}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray} A,B \subset X \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist die folgende Äquivalenz: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist injektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Hinrichtung müsste klar sein. " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv. Zunächst zeige man $\begin{eqnarray} f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ . Dazu sei $\begin{eqnarray} f(x) \in f(A \cap B) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in A \cap B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\in A \land x \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \in f(A) \land f(x) \in f(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ Jetzt zeigt man $\begin{eqnarray} f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{eqnarray}$ Also sei $\begin{eqnarray} f(x) \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \in f(A) \land f(x) \in f(B) \end{eqnarray}$ Jetzt kommt die Injektivität von f ins Spiel. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv ist, besitzt jedes $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ höchstens ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , d.h. es gibt keine zwei oder mehr x-Werte, die nicht in der Schnittmenge liegen und trotzdem beide auf $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ abgebildet werden, also $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in A \land x \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x \in A \cap B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \in f(A \cap B) \end{eqnarray}$ Damit wäre die Hinrichtung gezeigt. Jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich die Rückrichtung zeigen soll, zumal ich mir ein Beispiel gedacht habe, in dem $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht injektiv ist, jedoch die Behauptung trotzdem gilt. Sei z.B. $\begin{eqnarray} A = \{1, 2, 3\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = \{3, 4, 5\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y = \{a, b, c, d\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ leiste Folgendes: $\begin{eqnarray} f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d, f(5) = d \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} f(4) = f(5) \end{eqnarray}$ schonmal sicherlich nicht injektiv. Jedoch ist $\begin{eqnarray} f(A \cap B) = f(\{3\})= \{c\} = \{a, b, c\} \cap \{c, d\} = f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ . Was mache ich hier falsch? Vielen Dank für Hilfe im Voraus!
24.05.2013, 16:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, So, wie sie da steht, ist die Aufgabe nicht richtig gestellt. Das Gegenbeispiel dafür hast du selbst geliefert. Richtig wäre es so: Sei $\begin{eqnarray} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray}$ eine Abbildung. Zeige: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist injektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} A,B\subset X \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ Verstehst du den Unterschied ?
24.05.2013, 20:03	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B) Ja okay, dankeschön, dann ergibt es natürlich Sinn! Um die Rückrichtung zu zeigen, muss ich doch jetzt nur annehmen, dass f nicht injektiv ist und dann zeigen, dass es ein A und B gibt, für das die obige Gleichung nicht erfüllt ist, richtig?
24.05.2013, 20:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
24.05.2013, 20:36	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde die Argumentation bei der Beweisrichtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ein bisschen unschön. Also z.B., dass Du mit "Sei $\begin{eqnarray} f(x)\in f(A\cap B) \end{eqnarray}$ ..." beginnst, statt mit: Sei $\begin{eqnarray} x\in f(A\cap B) \end{eqnarray}$ .
24.05.2013, 21:25	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber x ist doch garnicht unbedingt ein Element der Urbildmenge oder wie ist das jetzt gemeint?
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24.05.2013, 21:31	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte es einfach so, dass man halt irgendein Element im Bild annimmt, das heiße etwa x, also z.b. $\begin{eqnarray} x\in f(A\cap B)=\left\{f(z):z\in A\cap B\right\} \end{eqnarray}$ und dann sagt, es gibt also ein $\begin{eqnarray} y\in A\cap B: x=f(y) \end{eqnarray}$ . Und nicht gleich anfängt mit: Sei $\begin{eqnarray} f(x)\in f(A\cap B) \end{eqnarray}$ . Aber das sind bestimmt nur Kleinigkeiten. --- Wichtiger ist: Hast du schon Mengen A und B gefunden für die die Identität bei Annahme von Nicht-Injektivität nicht stimmt?
24.05.2013, 21:42	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
achso okay, danke nein, bin gerade garnicht zuhause, darüber denk ich morgen nach
24.05.2013, 21:47	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ist auch nicht so schwer
24.05.2013, 22:39	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
So, hab mir grad doch noch kurz Gedanken drüber gemacht Also: Sei f nicht injektiv. Dann gibt es $\begin{eqnarray} x_{1} \neq x_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray}$ . Nun wähle man A und B, so dass $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ nicht in der Schnittmenge von A und B liegen. Dann ist $\begin{eqnarray} f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f(x_{1}) \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ und weil weder $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ liegt, gilt $\begin{eqnarray} f(x_{1}) = f(x_{2}) \not\in f(A \cap B) \end{eqnarray}$ Somit muss auch die Kontraposition, also $\begin{eqnarray} f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) \Rightarrow \end{eqnarray}$ f injektiv gelten.
24.05.2013, 22:43	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber du musst A und B schon konkret angeben und nicht einfach nur sagen: $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_ \end{eqnarray}$ lägen nicht im Schnitt von A und B. Klar, dass das dann stimmt.
24.05.2013, 22:45	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ heißen.
24.05.2013, 22:51	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht es zu sagen A und B seien Teilmengen einer Obermenge M mit $\begin{eqnarray} A = M \backslash \{x_{1}\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = M \backslash \{x_{2}\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt ja $\begin{eqnarray} x_{1}, x_{2} \not\in A \cap B \end{eqnarray}$ . Reicht das?
24.05.2013, 22:53	SchauSchau	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht gleich $\begin{eqnarray} A:=\left\{x_1\right\}, B:=\left\{x_2\right\} \end{eqnarray}$ ?
24.05.2013, 23:07	Luke94	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, stimmt^^

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