Äquivalenz zweier Aussagen zum ggT

24.05.2013, 15:26

deru

Äquivalenz zweier Aussagen zum ggT

Meine Frage:
Hallo,

gibt es einen Unterschied zwischen den beiden folgenden Aussagen zum ggT?

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \quad ggT(a,b)=ggT(a-b,b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x,a,b \quad x=ggT(a,b) \Leftrightarrow x=ggT(a-b,b) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die Vermutung, dass die untere Aussage eine "vorsichtigere" Schreibweise ist, angesichts des Spezialfalls a = 0 und b = 0.

In der oberen Variante würde dann ggT als partielle Funktion gelten, d.h. man akzeptiert "undefiniert" gewissermaßen als Funktionswert, wobei dann im Fall a=b=0 dasteht: undefiniert = undefiniert, was dann ja auch wahr ist.

In der unteren Variante gibt es kein x, so dass x = ggT(0,0).

Aber warum schreibt man dann nicht

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \neq (0,0) \quad ggT(a,b)=ggT(a-b,b) \end{eqnarray*}$

anstatt eine neue Variable x einzuführen?

26.05.2013, 19:59

weisbrot

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RE: Äquivalenz zweier Aussagen zum ggT

Zitat:

undefiniert = undefiniert, was dann ja auch wahr ist.

nein, es ist nicht un definiert=undefiniert - diese aussage selbst wäre in gew. weise wieder undefiniert.
man will in der mathematik undefinierte sache wie hier z.b. ggt(0,x) garnicht zulassen, deswegen, wenn man hier $\begin{eqnarray*} \forall a,b \dots \operatorname{ggT}(a,b)\dots \end{eqnarray*}$ schreibt, meint man damit implizit nur a,b für die alles definiert ist bzw. a,b aus einem durch kontext gegebenen individuenbereich - und der ist eben $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber warum schreibt man dann nicht $\begin{eqnarray*} \forall a,b \color{red}\neq 0\color{black} \quad ggT(a,b)=ggT(a-b,b) \end{eqnarray*}$ anstatt eine neue Variable x einzuführen?

das ist wie gesagt eigentlich implizit was da steht.
(also vielleicht gibt es formalismen, in denen das sinn macht so wie du es verstanden hast, aber normalerweise funktioniert es so wie ich gesagt hab.)
lg

26.05.2013, 20:19

Mystic

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RE: Äquivalenz zweier Aussagen zum ggT
Nur als kurzer Einwurf: Warum in aller Welt sollte den ggT(0,0) undefiniert sein? Oder andersrum, welche der beiden nachfolgenden Bedingungen für $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , damit gilt d=ggT(a,b) wäre denn für a=b=0 und d=0 verletzt?

1. d ist gemeinsamer Teiler von a und b,
2. d wird von jedem anderen gemeinsamen Teiler t von a und b geteilt.

26.05.2013, 23:55

Leopold

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Es kommt darauf an, welche Definition des größten gemeinsamen Teilers man zugrundelegt. Bei der von dir vorgenommenen ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ natürlich richtig. So macht man das wohl in der abstrakten Algebra allgemein in Integritätsbereichen. Man könnte sich aber auch an die eigentliche Bedeutung von "größter" im Sinne von "dem Betrage nach größter" halten. Dann wäre $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(0,0) \end{eqnarray*}$ kein sinnvoller Begriff, da jede ganze Zahl ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. In manchen Büchern wird sogar in der Definition der Teilereigenschaft die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Teiler nicht zugelassen (wohl aber als durch andere Zahlen $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ teilbar). Dann kann sie natürlich auch kein größter gemeinsamer Teiler sein.

27.05.2013, 09:43

Mystic

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Naja, da wir hier im Bereich Hochschulmathematik sind, war ich eigentlich davon ausgegangen, dass dem Begriff "ggT" meine Definition zugrunde liegt. Die naive Deutung, wonach der ggT der "größte" unter allen gemeinsamen Teilern ist, kann nicht nur "in die Hosen gehen", wie man gerade im Fall ggT(0,0) sehr deutlich sieht, sondern ist darüber hinaus auch nicht verallgemeinerungsfähig auf beliebige Integritätsringe, indem man ohne Not von der linearen Ordnung $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Gebrauch macht...

27.05.2013, 13:20

Leopold

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Aber gerade in der elementaren Zahlentheorie ist die Definition über die Anordnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gängig. Dann bleibt $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(0,0) \end{eqnarray*}$ einfach undefiniert. Ist ja auch kein Problem.

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