Z/8Z Gleichungen lösen

24.05.2013, 16:15

steviehawk

Z/8Z Gleichungen lösen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte ein paar Gleichungen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ lösen.

Weiß aber noch nicht so genau, was mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so richtig gemeint ist. Habe es zwar schon oft gesehen, verstehe es aber noch nicht ganz.

Ich kenne eben die Nebenklassen sonst: $\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ gU | U \leq G \wedge g \in G\right\} \end{eqnarray*}$

Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} 8 \mathbb Z \leq \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der ganzen Zahlen ist. (alle haben ja diese Form)

Ist dann: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z = \left\{ z + 8 \mathbb Z | z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\} \end{eqnarray*}$ das heißt es sind alle ganzen Zahlen die beim z mod 8 rauskommen können oder?

Meine Ideen:
Danke für die Erklärungen smile

24.05.2013, 16:39

Leopold

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RE: Z/8Z Gleichungen lösen

Zitat:

Original von steviehawk
Ich kenne eben die Nebenklassen sonst: $\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ gU | \color{red} U \leq G \wedge \color{black} g \in G\right\} \end{eqnarray*}$

Fast. Das $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ darf nicht mit in die Aussonderung aufgenommen werden.

Zitat:

Original von steviehawk
Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} 8 \mathbb Z \leq \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der ganzen Zahlen ist. (alle haben ja diese Form)

Stimmt.

Zitat:

Original von steviehawk
Ist dann: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z = \left\{ z + 8 \mathbb Z | z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

So ist es.

Zitat:

Original von steviehawk
Ich habe gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\} \end{eqnarray*}$ das heißt es sind alle ganzen Zahlen die beim z mod 8 rauskommen können oder?

Die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ fehlt noch. Man muß sich allerdings bewußt sein, daß die Ziffern hier nicht die übliche Bedeutung haben, sondern für die gesamte Restklasse stehen, was man gelegentlich mit $\begin{eqnarray*} \bar{5} \end{eqnarray*}$ usw. zum Ausdruck bringt. Oder noch eindeutiger ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ist eine oberflächliche, aber übliche Schreibweise für $\begin{eqnarray*} \bar{5} = 5 + 8 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Am besten stellst du dir eine alte Kirchturmuhr vor, nur nicht mit Ziffern von 1 bis 12, sondern mit Ziffern von 1 bis 8, wobei du statt der $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ auch gleich 0 schreiben kannst. Und wenn nun der Zeiger auf 5 steht und 6 "Stunden" weiterzieht, dann steht er danach auf 3:

$\begin{eqnarray*} 5 + 6 = 3 \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 16:52

steviehawk

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RE: Z/8Z Gleichungen lösen
okay, vielen Dank. Habe jetzt auch die passende Passage im Skript entdeckt! Das mit dem Kirchturm ist gut Freude

Ich habe folgende Gleichungen versucht zu lösen. Immer an Hand einer Tabelle:

1) $\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Tabelle:
$\begin{eqnarray*} x - x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 - 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 - 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7 - 1 \end{eqnarray*}$

wobei immer $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$ hat dann die Lösungen: $\begin{eqnarray*} 1,3,5,7 \end{eqnarray*}$

Diese Wertetabelle kann ich ja auch für Gleichungen der Art: $\begin{eqnarray*} x^2 = 3 \end{eqnarray*}$ verwenden, diese hat demnach in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ keine Lösung.

Die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x = 0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen: $\begin{eqnarray*} 0,4 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x = 1 \end{eqnarray*}$ hat keine Lösungen:

Die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 7x = 2 \end{eqnarray*}$ hat die Lösung $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$

tut mir Leid, dass ich jetzt zu faul war immer "overline" einzufügen..

24.05.2013, 18:32

steviehawk

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RE: Z/8Z Gleichungen lösen
Ich musste jetzt noch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 628 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Gleichungen

1) $\begin{eqnarray*} 273x = 3 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} 23x^2 = 2 \end{eqnarray*}$

lösen. Dazu habe ich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus das Inverse von 273 bestimmt, was -23 ist. So erhält man in 1 die Lösung: - 69

es ja dann -273 das Inverse zu 23, so erhält man in der zweiten Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2 = -546 \end{eqnarray*}$

für kleinere Restklassenringe habe ich für sowas immer eine Wertetabelle erstellt, wie könnte ich das hier lösen (bis auf x = ?) ?

25.05.2013, 10:02

ollie3

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RE: Z/8Z Gleichungen lösen
hallo,
also zunächst form man die gleichung um in x^2=82, um sich das leben einfacher
zu machen (82 liegt in derselben resklasse wie -546 modulo 628).
Ja, und dann muss man entscheiden, ob 82 quadratischer rest mod 628 sein kann. Dazu benötigt man das legendresche restsymbol, das nimmt immer den
wert 1 oder -1 an, jenachdem ob man einen quadratischen rest vorliegen hat
oder nicht. Falls du dich damit noch nicht auskennst, kann man das bei wikipedia
unter quadratischer rest und quadratisches reziprozitätsgesetz nachlesen.
Habe das durchgerechnet, bei mir kam zum schluss -1 raus, das heisst die
kongruenz ist also nicht lösbar(falls ich mich nicht verrechnet habe, übernehme
keine gewähr).
gruss ollie3

25.05.2013, 10:34

Leopold

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Ein direkter Versuch. Für die ganzen Zahlen ausgesprochen, geht es darum, ob es $\begin{eqnarray*} x,n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} x^2 = 82 + 628n \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite dieser Gleichung ist gerade, also muß auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gerade sein, etwa $\begin{eqnarray*} x = 2k \end{eqnarray*}$ . Setzt man das ein, erhält man nach Division durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2k^2 = 41 + 314n \end{eqnarray*}$

Und was ist nun mit gerade und ungerade?

26.05.2013, 11:14

steviehawk

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zunächst würde mich interessieren, ob die anderen Gleichungen richtig gelöst worden sind??

26.05.2013, 14:04

Leopold

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Ja.

26.05.2013, 20:34

steviehawk

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Ich habe nochmal eine Frage zu dem Inversen, bevor es weiter gehen kann.

Ich habe mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ja das Inverse von 273 in Z/628Z bestimmt. Da kam dann -23 raus.

Aber -23 liegt doch garnicht in Z/628Z ??

26.05.2013, 23:00

Leopold

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Der euklidische Algorithmus ist ein Verfahren für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis ist dann aber für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/628 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zu interpretieren. Wie war das noch einmal mit der Kirchturmuhr? Jetzt hat sie sogar $\begin{eqnarray*} 628 \end{eqnarray*}$ Stunden ...

Vielleicht solltest du in der Schreibweise doch ganze Zahlen wie $\begin{eqnarray*} -3,8,1001 \end{eqnarray*}$ von Restklassen modulo $\begin{eqnarray*} 628 \end{eqnarray*}$ unterscheiden: $\begin{eqnarray*} \overline{-3}, \overline{8}, \overline{1001} \end{eqnarray*}$

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