Additivität von Reihen

24.05.2013, 18:40	Mathilda-Luise	Auf diesen Beitrag antworten »
Additivität von Reihen Meine Frage: Hallo, ich soll folgende Aufgabe zeigen: Seien $\begin{eqnarray} \sum a_{i}, \sum b_{i} \end{eqnarray}$ konvergent und a,b aus den reellen Zahlen. Dann ist $\begin{eqnarray} \sum (aa_{i} + bb_{i}) \end{eqnarray}$ konvergent und es gilt $\begin{eqnarray} \sum (aa_{i} + bb_{i}) = a \sum a_{i} + b \sum b_{i} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also ich habe mir überlegt, dass man das vielleicht über die Konvergenzregeln für Folgen machen könnte. Es sind ja $\begin{eqnarray} s_{n}= \sum\limits_{i=0}^{n}a_{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_{n}= \sum\limits_{i=0}^{n}b_{i} \end{eqnarray}$ die Partialsummen und dafür gilt ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n}aa_{i}+bb_{i}=as_{n}+br_{n} \end{eqnarray}$ Nun ist ja die Folgenkonvergenz additiv, also: $\begin{eqnarray} \lim (a+b) = \lim a+ \lim b \end{eqnarray}$ Und damit müsste ja gelten: $\begin{eqnarray} a \lim s_{n} + b* \lim r_{n}= \lim (a* s_{n} + br_{n}) \end{eqnarray}$ UNd damit wäre ich ja eigentlich fertig, aber irgendwie hab ich nun beides durcheinander gezeigt, also schon mit einbezogen, dass man die Konstanten aus der Summe rausziehen darf und nun bin ich mir unsicher... Kann mir jemand helfen? Viele Grüße und viele Dank im Voraus
27.05.2013, 10:24	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additivität von Reihen Im Prinzip ist der Beweis ok. Bei einer Summe mit endlich vielen Summanden darf man einen konstanten Faktor, der in jedem Summanden vorkommt, vor die Summe ziehen (Distributivgesetz).

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