Zweidimensionales Integral über Mengen

24.05.2013, 19:27

Vinterblot

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Zweidimensionales Integral über Mengen

Hallo,

folgende Aufgabe:

Zitat:

Berechnen Sie
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_M \frac{x^2}{y^2} dx dy<br /> \end{eqnarray*}$
wobei M von den Geraden
$\begin{eqnarray*} <br /> y=1, y = x, x = 2<br /> \end{eqnarray*}$
berandet wird.

Ich hab mir dazu erstmal ein Bildchen (siehe Anhang) gemalt, wobei ich mir da schon nicht ganz sicher bin, ob dass so korrekt ist. Zweifelhaft die gerade, die von (0, 0) nach (2, 0) verläuft. Die ist ja nirgends definiert. Aber wie soll ich mir diese Menge anders vorstellen?

Meines Wissens muss ich ja nun die Grenzen ermitteln und dann ein doppeltes Integral dxdy aufstellen. Doch wie genau geh ich nun Schritt für Schritt vor? Wie ermittel ich die Grenzen? Oder lieg ich schon beim grundlegenden Lösungsverfahren falsch?

Danke im Vorfeld für die Hilfe

24.05.2013, 20:24

HAL 9000

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An sich sieht man ohne aufwändige Rechnung die Divergenz dieses Integrals:

Es ist $\begin{eqnarray*} M\supset [1,2]\times [0,1] \end{eqnarray*}$ und der Integrand nichtnegativ, also kann man abschätzen

$\begin{eqnarray*} \int\limits_M \frac{x^2}{y^2} ~ \dd x ~ \dd y \geq \int\limits_0^1 \int\limits_1^2 \frac{x^2}{y^2} ~ \dd x ~ \dd y \geq \int\limits_0^1 \frac{1}{y^2} ~ \dd y = \infty \end{eqnarray*}$

Bist du dir also wirklich sicher, dass nicht irgendeine oder mehrere deiner Angaben falsch sind? verwirrt

verwirrt

24.05.2013, 20:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bist du dir also wirklich sicher, dass nicht irgendeine oder mehrere deiner Angaben falsch sind? verwirrt

verwirrt

Viel interessanter finde ich, wie drei Geraden ein Trapez (und kein Dreieck) begrenzen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Oder hast du die Skizze auch zu den "Angaben" gezählt?

24.05.2013, 20:38

HAL 9000

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Ist eigentlich wurst: Auch wenn die untere Begrenzungsgerade entfällt und das Gebiet sich nach links unten ins unendliche erstreckt, stimmt die obige Integralabschätzung ohne jede Änderung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2013, 20:47

Che Netzer

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Mag sein, aber das Gebiet, das von den drei Geraden berandet wird, ist ein völlig anderes.

24.05.2013, 20:48

Vinterblot

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Das ist ja das Problem: An sich soll es sich hier um eine kompakte Menge handeln.
Es geht halt um Jordan-messbare/quadrierbare Mengen. Dass ist die erste Aufgabe zum Thema.

Und dass es eigentlich keine untere Grenze gibt und das Integral dann faktisch gegen unendlich gehen müsste kann man graphisch ja gut sehen. Deswegen bin ich etwas ratlos...

Edit: Die Angaben sind korrekt und die Aufgabenstellung ist vollständig wie sie dort steht. Hab grade extra noch einmal kontrolliert.

Wenn ich beim umsetzen der Skizze irgendwas übersehen habe/die angegebenen Gleichungen falsch eingezeichnet habe, bitte melden. Manchmal sieht man ja den Wald vor lauter Bäumen nicht.

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24.05.2013, 20:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Che Netzer
Mag sein, aber das Gebiet, das von den drei Geraden berandet wird, ist ein völlig anderes.

Aja, war eine etwas lange Leitung von mir. Hab mich tatsächlich durch die blöde Skizze täuschen lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann übernimm du mal besser - und ich ziehe wegen Fehldeutung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ alle meine Beiträge inhaltlich zurück.

26.05.2013, 15:09

Vinterblot

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Hat niemand mehr einen heißen Tipp für einen Ansatz? unglücklich

unglücklich

26.05.2013, 15:10

Che Netzer

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Hast du denn inzwischen dein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ korrigiert?

27.05.2013, 10:52

Vinterblot

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Nein, ich bin anscheinend zu blöd oder seh das offensichtliche nicht traurig

traurig

Edit: Ich bin offensichtlich zu doof..... aktualisiere gleich mit Zeichung.

Edit #2: Hier die Skizze

27.05.2013, 11:11

Vinterblot

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Kann leider nicht mehr editieren:
Muss nun noch mehr gemacht werden als

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^2(\int_1^2 \frac{x^2}{y^2}dx)dy<br /> \end{eqnarray*}$

27.05.2013, 12:03

Che Netzer

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Die Grenzen des inneren Integrals sind noch falsch (in welchem Intervall liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?), aber bis dahin stimmt es.

27.05.2013, 12:17

Vinterblot

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Ich bin nun einfach hingegangen und habe von der Zeichnung die Randpunkte bzw. dass maximale x und das maximale y abgelesen. Die Punkte sind ja (1,1), (2, 1) und (2, 2).

Bei y sind Minimum und Maximum bei 1 und 2, bei x ebenfalls 1 und 2.
Insofern glaube ich, hab ich bei den Grenzen von y nur einen Glückstreffer gelandet und hab eigentlich nicht verstanden, wie man die Grenzen einsetzt. Ich bin in beiden Fällen ja nach dem selben Schema vorgegangen.

27.05.2013, 12:40

Che Netzer

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Man geht folgendermaßen vor:
In welchem Intervall liegt die erste Variable?
Hier ist $\begin{eqnarray*} y\in[1,2] \end{eqnarray*}$ .
Wenn man nun diese Variable festhält, wo darf die zweite Variable liegen?
Für $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ hat man z.B. nur $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ auf dem Rand übrig, für $\begin{eqnarray*} y=\frac32 \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} x\in[\tfrac32,2] \end{eqnarray*}$ sein.

Dazu habt ihr sicher schon Übungen oder Beispiele gehabt.

27.05.2013, 13:10

Vinterblot

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Naja, für y = 2 bleibt x = 2 übrig.
Für y = 1 hat x das Intervall [1, 2]. Insofern bin ich mir grad nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe.

27.05.2013, 13:12

Che Netzer

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Ganz allgemein:
Wenn $\begin{eqnarray*} y_0\in[1,2] \end{eqnarray*}$ vorgegeben ist, für welche $\begin{eqnarray*} x\in? \end{eqnarray*}$ liegt dann $\begin{eqnarray*} (x,y_0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2013, 14:16

Vinterblot

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$\begin{eqnarray*} <br /> x \in [x(y0), 2]<br /> \end{eqnarray*}$

27.05.2013, 19:47

Che Netzer

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Und was ist $\begin{eqnarray*} x(y_0) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

27.05.2013, 20:05

Vinterblot

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Wie ist die Frage zu verstehen? Dass ich den Ansatz weiter denken soll oder dass der Ansatz völlig falsch ist? Big Laugh

Big Laugh

Tut mir leid, ich steh völlig auf dem Schlauch.

27.05.2013, 20:10

Che Netzer

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Die Frage ist so zu verstehen, dass du erläutern solltest, was du unter $\begin{eqnarray*} x(y_0) \end{eqnarray*}$ verstehst.

27.05.2013, 20:35

Vinterblot

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Dass wir ein x in Abhängigkeit von y0 haben, also eine eindimensionale Funktion.

27.05.2013, 20:46

Che Netzer

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Und welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} x(y_0) \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2013, 23:09

Vinterblot

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Okay....

Wir haben zwei Gleichungen mit x, einmal x = 2 und einmal x =y. Entsprechend ist das Integral

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^2(\int_y^2 \frac{x^2}{y^2}dx)dy<br /> \end{eqnarray*}$

Dabei ist x = 2 die obere Grenze, weil es (von links nach rechts gehend) geometrisch "hinten" liegt

27.05.2013, 23:19

Che Netzer

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Ja, jetzt stimmt es.
Mal dir am besten noch irgendein anderes Dreieck auf, z.B. das, welches durch Nullpunkt $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ beschrieben wird, und übe daran das Bestimmen der Grenzen.

Das Integral nun auszurechnen, dürfte nicht mehr die Schwierigkeit sein.
Oder verwirren dich vielleicht die Variablen?

27.05.2013, 23:28

Vinterblot

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Nein, das Integral berechnen ist kein Problem, habe da 5/6 raus.
Ich hab noch eine zweite Aufgabe vom selben Typ, die stell ich hier mal rein und berechne die entsprechend. Hatte ich eh vor, zur Kontrolle, ob ich es verstanden habe.

28.05.2013, 00:21

Vinterblot

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Okay, nur zur Kontrolle und als Beispiel für andere Leser:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_M = (x) dx dy, M = \{y = ln(x), y = x - 1, y = -1\}<br /> <br /> y = x - 1 \Rightarrow x = y + 1 (\text{Untere Grenze})<br /> y = ln(x) \Rightarrow x = e^y (\text{Obere Grenze})<br /> <br /> \text{Jetzt Grenzen einsetzen (Äussere Grenzen sind wieder aus einer Zeichnung abgelesen)}<br /> \Rightarrow \int_{-1}^0 (\int_{y+1}^{e^y} x dx) dy<br /> <br /> \text{Inneres Integral lösen}<br /> \int_{y+1}^{e^y} dx <br /> = [\frac{1}{2}x^2]_{y+1}^{e^y} <br /> = \frac{1}{2}e^{2y} - \frac{1}{2} (y+1)^2<br /> <br /> \text{Äusseres Integral lesen}<br /> \Rightarrow \int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^{2y} - \frac{1}{2} (y+1)^2 dy <br /> = ... = \frac{5}{12} - \frac{1}{4}e^{-2}<br /> \end{eqnarray*}$

28.05.2013, 10:17

HAL 9000

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verwirrt

Wohl eher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} - \frac{1}{4}e^{-2} \end{eqnarray*}$ .

28.05.2013, 10:39

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000
verwirrt

verwirrt

Wohl eher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} - \frac{1}{4}e^{-2} \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht ist's ja auch nur ein Lesefehler (von der Festplatte?)... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Vinterblot
$\begin{eqnarray*} \text{Äusseres Integral lesen}<br /> \end{eqnarray*}$

28.05.2013, 18:10

Vinterblot

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Heute kam das Thema dann auch in der Vorlesung.... Gott

Gott

Danke an alle für die Hilfe

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