Ungleichung abschätzen (Mithilfe Euxodos)

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JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung abschätzen (Mithilfe Euxodos)
Folgende Ungleichung sei gegeben:



Nun habe ich als Lösung bereits folgende Abschätzung gegeben:



Wie komm ich auf diese abschätzung ? Neben der Abschätzung steht folgendes:

Sei :

Mit Satz des Euxodos gilt:



Jemand eine Idee'?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine Eudoxos! xD
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung abschätzen (Mithilfe Euxodos)
Ich habe oben einen Tippfehler. Die Abschätzung lautet:

watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bitte gib die vollständige Aufgabenstellung an.

Mir stellen sich hier etliche Fragen:
- Ist eine Folge, eine spezielle Folge, was anderes?
- Soll konvergieren?
- Welche mathematische Methodik ist nach einem Eudoxos/Euxodos benannt?
(auch google sagt dazu nicht wirklich was?)
Und vermutlich noch ein paar wenn ich länger drüber nachdenke.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke das sich das jemand anschauen möchte.

Es geht um den Beweis von .

...
...

Zu zeigen:



Wobei

, äquivalent zu



Nach dem Binomischen Lehrsatz folgt:



Und daraus ergibt sich abgeschätzt:

, äquivalent zu



Und daraus folgt die Abschätzung:



Wobei dann die Konvergenz bewiesen ist. Ich versteh den letzten Schritt aber nicht.

Satz des Euxodos: Zu jeder reellen Zahl a >0 und jedem b ∈ IR gibt es eine natürliche Zahl
n mit na > b

Kannst du mir bitte weiterhelfen?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt Satz des Eudoxos. Hatte wieder denselben Namen falsch geschrieben. Sicher ist es jedoch eine bekannte abschätzbemethode denke ich mir zumindest unter einem anderen Namen.
 
 
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Satz des Euxodos: Zu jeder reellen Zahl a >0 und jedem b ∈ IR gibt es eine natürliche Zahl n mit na > b

Dieser Satz heißt Archimedisches Axiom
Dafür habe ich noch nie einen anderen Namen gehört.

Bitte hier ein Mouse-over oder copy&paste:


Zitat:
Und daraus folgt die Abschätzung:

Ich hoffe, das steht nicht so im Original dort, eher sowas.
Wähle . Nach dem archimedischen Axiom existiert eine natürliche Zahl n mit (und damit auch für alle natürlichen Zahlen >n)
Also:
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wähle . Nach dem archimedischen Axiom existiert eine natürliche Zahl n mit (und damit auch für alle natürlichen Zahlen >n)
Also:


Danke für deine Mühe. Leider hilft mir das jetzt nicht weiter, da ich nicht verstehe wie du darauf kommst. Deshalb interessieren mich zwei Sachen.

1) Was brinbgt einem dieses Archimedische Axiom? Hilft es einem zur abschätzung?
2) Das zitierte von dir hilft mir nicht weiter. Weshalb die epsilon^2 ? Und warum die Ungleichung die du erwähnst ?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1) Was brinbgt einem dieses Archimedische Axiom? Hilft es einem zur abschätzung?

Das archimedische Axiom ist eine der grundlegenden Eigenschaften der reelllen Zahlen
(zusammen mit Vollständigkeit und der Körper-Eigenschaft).
Und ja es hilft zum abschätzen wie z.B.hier.

Zitat:
Weshalb die epsilon^2 ? Und warum die Ungleichung die du erwähnst ?

Weil es funktioniert.
ist die für deine ursprüngliche Ungleichung (mach dir das klar).
Und um diese Ungleichung zu kriegen, muss man im arch. Axiom das Epsilon nunmal quadrieren.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Kannst du bitte verständlich erklären wie du mithilfe des Archimedischen Axioms auf diese Ungleichung kommst und was das für meine Ungleichung bringt? Ich hänge wirklich und komme nicht weiter. Bin am überlegen, aber der Satz hilft mir nicht.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem arch. Axiom folgt hier das (mit den oben genannten Einsetzungen)

Dies kann man umformen zu:


Versuch's mal.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir bitte noch einmal einen Schritt zurück bevor ich etwas löse. Ich möchte es bitte erst verstehen können.

Ich stecke bei folgender Ungleichung fest:



Eine Frage vorab: Dieses epsilon, dass hier gewählt werden soll als x und y, handelt es sich um dasselbe als für die Bedingung das der Betrag von a_n kleiner gleich ist als epsilon ? Und was ist das Ziel bei dem ganzen? Ich möchte wahrscheinlich zeigen, dass die Folge tatsächlich kleiner ist als das Epsilon. Folglich sollte es sich glaube um dasselbe Epsilon handeln.

Und nun zum Archimedischem Axiom:

Zu je zwei Größen y>x>0 existiert eine natürliche Zahl n element IN mit nx>y.

Hier würde mich interessieren was ich erreichen möchte mit meiner Ungleichung und wie ich x und y zu wählen habe, damit das funktioniert was ich erreichen möchte.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry mit Extrem-Didaktik kann ich nicht dienen.
Man nimmt das ganze weil es funktioniert. Viel mehr oder weniger steckt da nicht hinter.

Du willst zeigen:
Für alle gibt es ein,
anders gesagt konvergiert gegen 0.
Diese Beweise beginnen immer so:
Sei (also irgendeine zahl von der wir nur wissen, dass sie >0 ist), wir suchen nun so ein .

Wir wissen:
Zitat:
.
Gesucht ist nun ein , so dass für alle größeres n gilt:

Und genau dies folgt hieraus:
(notationsmäßig angepasst)
Zitat:
Wähle . Nach dem archimedischen Axiom existiert eine natürliche Zahl mit (und damit auch für alle natürlichen Zahlen ) Also:


P.S. was ist dein mathematischer Hintergrund?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Bezogen auf meinen mathematischen Hintergrund. Ich bin im 1. Semester (Elektrotechnik).

Ich überlege und überlege und weiss immer noch nicht weshalb du deine x und y so gewählt hast wie du sie hast bezogen auf den Archimedischem Axiom ( Zu je zwei Größen y>x>0 existiert eine natürliche Zahl n element IN mit nx>y)

Wieso die 2? Was ist das für eine Bedeutende Zahl hier ?

ps. Es tut mir wirklich leid wenn ich so doof nachfrage und nerve, aber ich hänge gerade an dieser Stelle.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Wahlen sind alle rein zweckmäßig, damit die Ungleichungen so gelten wie sie sollen.
Die Umformungen sind übrigens Äquivalenzumformungen.
Vielleicht hilft es sie von der anderen Richtung zu lesen.
Ich geh jetzt jedenfalls schlafen, vielleicht hilft dir das auch.
Gute Nacht.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das du mir nicht zuviel erzählt hast, damit ich mich selbst anstrengen kann. Ich bin mir jedoch nicht sicher ob es so machbar ist, komme jedoch auf dasselbe:

Betrachte:



Es gilt:



Bestimme :

, ist äquivalent zu:



Einsetzen in Ungleichung:



Wenn das stimmen sollte, würde mich interessieren ob man so die konvergenz von jeglichen Folgen beweisen tut bzw. kann?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine Bestätigung ?^^
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es gilt:

das gilt genau dann wenn . Um damit Aussagen zu machen sollten wir uns erstmal über die existenz von Gedanken machen.

Zitat:

, ist äquivalent zu:



Gleichheit kriegen wir nicht hin, z.B.
Aber ein <. Außerdem folgern wir doch die Existenz dieses aus archimedes/Eudoxos/whtever und da ist nur eine Ungleichung vorhanden.

Das wesentliche im Beweis ist zu zeigen, dass ein mit der gewünschten Eigenschaft existiert. Darüber bügelst du massiv hinweg.
Zitat:


Abgesehen vom Fehler von oben passt das.

Zitat:

Wenn das stimmen sollte, würde mich interessieren ob man so die konvergenz von jeglichen Folgen beweisen tut bzw. kann?

Das generelle Vorgehen ist gleich, die verwendeten Ungleichungen können aber andere sein.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Hey klasse, das hört sich schon einmal gut an. Vielen dank!

Meinst du etwa das es so aussehen muss:



?


Oder gilt hier größer gleich ?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Welche variante folgt denn aus dem archimedischen Axiom?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss zugeben, ich weiss es nicht und habe es so aufgeschrieben, da nach der Definition der Konvergenz epsilon größer sein muss.


Das mit dem Archimedischem Axiom habe ich immer noch nicht richtig verstanden. Die Definition ist simpel und klar, weiss aber nicht was sie mir bei Abschätzungen bringt,
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich muss zugeben, ich weiss es nicht und habe es so aufgeschrieben, da nach der Definition der Konvergenz epsilon größer sein muss.

Wie meinen?

Es ist hier zu zeigen, dass die Folge konvergiert. D.h., dass die Folge die Definition erfüllt.
Du darfst hier also nichts aus der Def. der Konvergenz folgern, das wäre sonst ein Zirkelschluss.

Zitat:
Das mit dem Archimedischem Axiom habe ich immer noch nicht richtig verstanden. Die Definition ist simpel und klar, weiss aber nicht was sie mir bei Abschätzungen bringt,

Zum gefühlt 10ten Mal:
Das bringt dir die Existenz des mit den Eigenschaften die die Defintion der Konvergenz verlangt.
Und welche Defintion meinst du hier?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine folgende Definition



Demnach sollte also auch



stimmen. Richtig ?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich meine folgende Definition

Das ist keine Definition. Das ist ein Term mit lauter undefinierten Ausdrücken.
Was ist , was was .
Sollen die existieren, soll es für alle gelten usw...

Zitat:
Demnach sollte also auch

Ich sehe hier keinerlei logischen Zusammenhang.

Lies dir evtl. den Thread nochmal von Anfang an durch und sortier deine Gedanken.
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Den Thread habe ich mir schon sehr oft durchgelesen.

.
a sei der Grenzwert.
Epsilon sei die Umgebung a+epsilon, a-epsilon um den Grenzwert a.

Und nach dieser Definition, eingesetzt umgeformt etc. muss gelten:

watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und nach dieser Definition, eingesetzt umgeformt etc. muss gelten:

Was willst du damit überhaupt sagen?

Du reisst irgendeinen Term komplett aus dem Kontext formst ihn irgendwie um.

Was hat das deiner Meinung mit dem Beweis der Konvergenz der Folge zu tun?
JonasderKobold Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das falsch was ich da ganz oben gepostet hatte ? Ich bin mir nur bei einer Sache unsicher, da ich vorhin



hatte um ebend epsilon zu bestimmen. Es soll aber glaube ich

[/quote] lauten. So sagt es die Definition der Konvergenz. Ist das richtig? Der Term an sich zeigt doch nur den Zusammenhang zwischen dem Index n_0 und dem epsilon an.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das falsch was ich da ganz oben gepostet hatte ?

Hab ich das irgendwo gesagt? Nein.
Ich habe gesagt es ist komplett aus dem Kontext gerissen, das ist was anderes. Da kann man nicht beurteilen ob es richtig oder falsch ist.

Zitat:
Ich bin mir nur bei einer Sache unsicher, da ich vorhin hatte um ebend epsilon zu bestimmen. Es soll aber glaube ich
lauten. So sagt es die Definition der Konvergenz. Ist das richtig? [/QUOTE]
Natürlich heißt es <. Aber wie bereits gesgat folgt das nicht aus der Def. der Konvergenz.
Diese soll gezeigt werden, darf also im Beweis nicht verwendet werden, da es sonst ein Zirkelschluss darstellt (A gilt, da A gilt.)
Das > folgt aus dem archimedischen Axiom.

Zitat:
Der Term an sich zeigt doch nur den Zusammenhang zwischen dem Index n_0 und dem epsilon an.

n_0 ist eine Zahl. 0 ist der Index. Zum rest, ja.
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