Wurzelgleichung II

24.05.2013, 21:41

enmi

Wurzelgleichung II

hallo,

habe folgende gleichung zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14}+2=\sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$

meine umformungsschritte

1. quadrieren:
$\begin{eqnarray*} x+14 +4\sqrt{x+14}+4=x-6 \end{eqnarray*}$

2. wurzel freistellen:
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x+14}=-24 \end{eqnarray*}$
und..
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14}=-6 \end{eqnarray*}$

3. nochmals quadrieren (und hier liegt wahrscheinlich mein fehler):
$\begin{eqnarray*} x+14=36 \end{eqnarray*}$

4. x = 22

tolle lösung - auch für die probe erhalte ich schöne zahlen, aber leider das falsche resultat
probe:
8 = 4 kann ja nicht stimmen

eigentlich ist hier keine lösung möglich, denn die lösung müsste größer gleich 6 sein damit unter der wurzel keine negative zahl ist. wäre die lösung aber 6, dann ergäbe sich 6,472135954999579 = 0 was ja auch wieder nicht stimmt. die linke seite ist daher immer größer als die rechte! oder???

danke für eure hilfe
sg
enmi

ps: habe versehentlich diese gleichung bei einem meiner älteren beiträge ebenfalls gepostet - sorry...

24.05.2013, 21:56

Bürgi

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RE: wurzelgleichung
Hallo,

grundsätzlich ist der vorgestellte Lösungsweg richtig. Nur Deine Rechnungen sind es nicht.
Aus
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14}+x=\sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$
folgt durch Quadrieren:

$\begin{eqnarray*} x+14 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{x+14} + x^2 = x-6 \end{eqnarray*}$

weil Du hier eine binomische Formel vorliegen hast.

Im Übrigen ist Deine Vermutung natürlich völlig richtig, dass diese Gleichung keine reelle Lösungen hat.

24.05.2013, 22:05

enmi

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RE: wurzelgleichung
hallo und erstmal vielen dank...
habe mich bei der angabe verschrieben. sorry
muss natürlich +2 lauten und nicht +x
sorry

bei deiner annahme würde ich folgende gleichung erhalten:

x^4 - 4x³ + 40x² - 14x + 400

aber das ist ja eine andere geschichte...

wie müsste ich die vorangegange aufgabe aber richtig rechnen. ich muss ja auch irgend einen fehler gemacht haben. oder?

24.05.2013, 22:11

Bürgi

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RE: wurzelgleichung
OK,

verziehen! Augenzwinkern

Due kannst folgende Ungleichheitskette aufstellen und daraus dann Deine Schlüsse ziehen:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \ge 6 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-6} < \sqrt{x+14} < 2 + \sqrt{x+14} \end{eqnarray*}$

Und was heißt das jetzt für Deine Gleichung?

EDIT: ... und weg! Wink

24.05.2013, 22:22

enmi

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RE: wurzelgleichung
hallo,

dass würde den schluss nahe legen, dass die gleichung eben nicht lösbar ist. da diese ungleichheitskette ja festlegt, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$ auf jeden fall kleiner sein muss als $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14}+2 \end{eqnarray*}$ was bedeutet, sie können nie gleich sein.

ABER:
wo liegt der fehler in meinen umformungsschritten. den würde ich eben gerne wissen.

danke
sg

24.05.2013, 22:31

original

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RE: wurzelgleichung

Zitat:

Original von enmi]
1. quadrieren:
$\begin{eqnarray*} x+14 +4\sqrt{x+14}+4=x-6 \end{eqnarray*}$ Freude

2. wurzel freistellen:

4\sqrt{x+14} +4 =-24 geschockt

.. der Fehler liegt ja schon hier

-> was soll denn noch die +4 auf der linken Seite?

smile

.. ach ja, dann bist du eh fertig, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14} \end{eqnarray*}$
kann NICHT negativ sein...

so - und jetzt schaust du nochmal ganz genau nach:
vielleicht war doch die Aufgabe so gestellt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14}-2=\sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$ Prost

24.05.2013, 22:45

sulo

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RE: wurzelgleichung

Zitat:

Original von original
geschockt

.. der Fehler liegt ja schon hier

-> was soll denn noch die +4 auf der linken Seite?

smile

Die ist einfach aus Versehen beim Abtippen übrig geblieben.

Wenn du die Aufgabe durchrechnest, siehst du, dass die 4 auf der anderen Seite der Gleichung schon verrechnet wurde.

Also nur ein Tippfehler, kein Rechenfehler. Augenzwinkern

24.05.2013, 22:52

enmi

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hallo,
und danke für eure antworten.
die 4 ist wirklich vergessen wurden (tippfehler) habe ich ausgebessert. meine frage ist aber immer noch: "was habe ich falsch gemacht?"
wäre echt nett, wenn ihr mir meinen fehler zeigen könntet.
danke
sg
enmi

24.05.2013, 22:56

sulo

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Schau dir mal meine Antwort im anderen Thread an (Wurzelgleichung I). Auch hier gilt: Du hast keinen Fehler gemacht.

Allerdings hast du durch das Quadrieren die Gleichung verändert. => Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.
Du erhältst Ergebnisse, bei denen du erst durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen musst, ob sie auch Lösung der Aufgabe sind.

smile

24.05.2013, 22:57

enmi

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Zitat:

so - und jetzt schaust du nochmal ganz genau nach: vielleicht war doch die Aufgabe so gestellt:

falls dies so wäre, dann würde ich als lösung x = 22 erhalten
bei der probe gäbe es dann 4=4

das wäre dann ja ganz toll, aber leider habe ich +2 und nicht -2 und meine frage ist nach wie vor: "Wo liegt mein fehler?" verwirrt

24.05.2013, 23:01

original

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RE: wurzelgleichung

Zitat:

Original von sulo

Also nur ein Tippfehler, kein Rechenfehler. verwirrt

.. na ja - der ist ja jetzt oben auch schon weg-getippt - sah vorher ja anders aus..

aber das Problem, das ich schon erwähnte :
" denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+14} \end{eqnarray*}$

kann NICHT negativ sein..."
ist damit nicht weggetippt. smile

und es erübrigt sich in einem solchen Fall auch dies:
durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen

.. der "Tippfehler" war daher wohl weit vorher schon eingebaut .. siehe Prost

24.05.2013, 23:06

enmi

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Zitat:

die 4 ist wirklich vergessen wurden (tippfehler) habe ich ausgebessert.

dachte ich stelle meinen fehler richtig. du hattest ja vollkommen recht, dass dies so nicht stimmen konnte.

aber was meinst du mit

Zitat:

aber das Problem, das ich schon erwähnte : " denn (x+14)^0,5 kann NICHT negativ sein..."

inwiefern hilft mir das weiter?

danke

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