Zahlentheorie

24.05.2013, 22:08

lessing89

Zahlentheorie

Hallo, ich habe eine frage bei folgener Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f: (S_n, \circ) \rightarrow (R_2, \oplus) \end{eqnarray*}$

Dabei soll f wie folgt gewählt werden.

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ soll 0 sein wenn die Anzahl der Transpostionen gerade ist und 1 bei ungerade.

S_n ist die symstrische Gruppe.

Ich soll zeigen, dass f eine surjektiver Homomorphismus ist.

Weiß aber nicht wie ich f aufstellen soll

24.05.2013, 22:21

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ steht für die Restklassen modulo 2?
(Was man üblicherweise mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ bezeichnet?)

Du hast doch bereits gegeben wie f definiert sein soll:

$\begin{eqnarray*} f(\pi)= \begin{cases} 1 &\text{falls durch gerade Anzahl Transpositionen darstellbar}\\0 &\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist jetzt (nachschauen was ihr davon gezeigt habt):
- f ist wohldefiniert, sprich bei allen möglichen Darstellungen der Permutation als Produkt von Transpositionen ist deren Anzahl immer entweder gerade oder ungerade.
- f ist Hom., sprich $\begin{eqnarray*} f(\pi \tau)=f(\pi) \oplus f(\tau) \end{eqnarray*}$
- die Surj. ist das kleinste aller Probleme (es sollte aber n>1 gelten.)

Zusatzfrage:
Wie kommst du auf den Titel "Zahlentheorie"? Das hat mit Zahlentheorie nicht sonderlich viel zu tun sondern ist eine grundlegende Aussage in der Gruppentheorie.

24.05.2013, 22:39

lessing89

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort. Ja es sind die Restklassen gemeint, denke ich jedenfalls. Als solche haben wir sie nie bezeichnet.

also wir haben den ersten Punkt schon gezeigt also:

"f ist wohldefiniert, sprich bei allen möglichen Darstellungen der Permutation als Produkt von Transpositionen ist deren Anzahl immer entweder gerade oder ungerade."

Ich verstehe nur nicht wie ich das anwenden kann.

Ich muss ja zunächst zeigen, dass es sich um einen Homomorphismus handelt.

Also, $\begin{eqnarray*} f(\pi \circ\tau)=f(\pi)\oplus f(\tau) \end{eqnarray*}$ . Aber genau diesen Punkt, weiß ich nicht zu händeln.

Wenn man das gezeigt hat, soll man noch zeigen, dass es surjektiv ist.

Also $\begin{eqnarray*} ker(f) = R_2 \end{eqnarray*}$

aber auch da weiß ich nicht wie das gescheit zu machen ist.

Hoffe jemand weiß einen Tipp

24.05.2013, 22:49

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn man das gezeigt hat, soll man noch zeigen, dass es surjektiv ist. Also $\begin{eqnarray*} ker(f) = R_2 \end{eqnarray*}$

Mir stellen sich die Haare zu Berge (und das nur zur Hälfte wegen dem dass ich dank heute-show gerade hören darf.)
Schau dir die Begriffe surjektiv, Kern und injektiv, Bild nochmal genau an.

Zitat:

"f ist wohldefiniert, sprich bei allen möglichen Darstellungen der Permutation als Produkt von Transpositionen ist deren Anzahl immer entweder gerade oder ungerade." Ich verstehe nur nicht wie ich das anwenden kann.

Was verstehst du denn nicht. Auf unspezifisches "ich versteh nicht" ist es sehr schwierig bis unmöglich sinnvoll zu antworten.

Zitat:

Also, $\begin{eqnarray*} f(\pi \circ\tau)=f(\pi)\oplus f(\tau) \end{eqnarray*}$ . Aber genau diesen Punkt, weiß ich nicht zu händeln.

Hast du schon was versucht?
Wenn du eine Darstellung der beiden Permutationen als Produkt von Transpositionen, also sowas $\begin{eqnarray*} \pi = \prod_{i=0}^k (a_ib_i) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (1\leq a_i,b_i\leq n) \end{eqnarray*}$ ,
was sieht das Produkt der zwei Permutationen aus?

24.05.2013, 23:05

lessing89

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh...hab mich natürlich verschrieben $\begin{eqnarray*} im(f)=R_2 \end{eqnarray*}$ soll es natürlich sein.

An der Stelle wo ich schrieb, "ich verstehe nicht" war gemeint, dass ich an sich die Idee der Transpostion nicht nach vollziehen kann. Also was eine Transpostion ist wurde nicht eingeführt.

Wenn du einen Link oder ähnliches hast, wo die Transpostion ausführlich erklärt wird, wäre ich sehr dankbar. (wiki hat mir nicht weiter geholfen)

24.05.2013, 23:08

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Transposition ist eine Vertauschung von genau zwei Elementen, also z.B. (12):
1 wird auf 2 abgebildet, 2 wird auf 1 abgebildet der Rest bleibt unberührt.

24.05.2013, 23:12

lessing89

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt wenn ich das an einem Beispiel von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nehme ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Transpostion?

24.05.2013, 23:17

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ja, denn es steht für $\begin{eqnarray*} 1\mapsto 3, 2\mapsto 2, 3\mapsto 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist die Identität und die ist keine.

P.S. Ich empfehle https://de.wikipedia.org/wiki/Permutatio...kelschreibweise bei längerfristiger Beschäftigung mit symm. Gruppen. (hab' ich auch in meinem 2.Post verwendet)

24.05.2013, 23:26

lessing89

Auf diesen Beitrag antworten »

okay....vielen dank schonmal...ich versuche es mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist in zyklenschreibweise:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und da zwei permutationen vertauscht sind, ist das eine Transpostion.

ist das richtig?

24.05.2013, 23:33

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist eine Transposition.
Bitte achte aber auf die Begriffe.
Hier werden zwei Zahlen vertauscht, keine Permutationen.
Permutationen sind die Elemente der symm. Gruppe.
Insbesondere sind Transpositionen Permutationen.

Eine entscheidende Eigenschaften von Transpositionen ist, dass sie selbstinvers sind.

Der Homomorphismus-Beweis für f ist relativ banal, evtl. mit einer kleinen Fallunterscheidung.
Einfach mal die Produktdarstellungen hinschreiben und schaun was passiert.

25.05.2013, 00:06

lessing89

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuche es mal.

Sei $\begin{eqnarray*} \pi_1= \prod a_i b_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_2= \prod c_i d_i \end{eqnarray*}$

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \pi_1\cdot \pi_2= \prod a_ib_ic_id_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_1\cdot \pi_2 \end{eqnarray*}$ die anzahl der Transpostionen sind insgesamt gerade, wenn die anzahl der Transpostionen von $\begin{eqnarray*} \pi_1,\pi_2 \end{eqnarray*}$ übereinstimmen und ungerade sonst
an dieser stelle muss ich dann die Fallunterscheidung zeigen, dass für gerade anzahl von Transpostion gilt $\begin{eqnarray*} f(\pi_1\circ \pi_2)= f(\pi_1) \oplus f(\pi_2) \end{eqnarray*}$

und für ungerade...bin ich da richtig?

25.05.2013, 00:21

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lessing89
Okay, ich versuche es mal.

Sei $\begin{eqnarray*} \pi_1= \prod a_i b_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_2= \prod c_i d_i \end{eqnarray*}$

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \pi_1\cdot \pi_2= \prod a_ib_ic_id_i \end{eqnarray*}$

Das kann man so nicht stehen lassen. Zum einen stehen bei dir Produkte von Zahlen, zum anderen scheinst du von kommutativität der Verknüpfung von permutationen, zumindest implzit, auszugehen- was falsch ist.

Machen doch das draus:
$\begin{eqnarray*} \pi_1= \prod_{i=0}^k (a_i b_i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_2= \prod_{i=k+1}^l (a_i b_i) \end{eqnarray*}$

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \pi_1\cdot \pi_2= \prod_{i=0}^l (a_ib_i) \end{eqnarray*}$

Es könneen sich hier aber Transpositionen gegenseitig auslöschen,
Wie beeinflußt das unser f (auch Signatur genannt)?

Bei deinen restlichen Ausführungen komm ich grammatikalisch und/oder zeitlich nicht mit. Ich wünsche gute Nacht.

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheorie

Verwandte Themen