Differential-Integralberechnung

25.05.2013, 02:04

Dorn

Differential-Integralberechnung

3.) Berechne das Volumen, das entsteht, wenn man die Fläche, die von der Funktion

h: y = x² - 3

und den Ordinaten 2 und 3 begrenzt wird, um die y-Achse rotieren lässt! (2 P)

Meine Idee: y+3= $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {x}=\sqrt{y+3} \end{eqnarray*}$

25.05.2013, 02:53

Dopap

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du meinst den Tortenboden zwischen blau, grün und rot ?

25.05.2013, 02:55

Dorn

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jA GLAUBE ICH MAL

25.05.2013, 03:05

Dopap

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Nun, dann verwende doch die Formel für Rotationsvolumen zwischen Kurve und Y-Achse , um die Y-Achse:

$\begin{eqnarray*} \rm Vol_y=\pi \int_{y=2}^{y=3}\, x^2\, \dd y \end{eqnarray*}$

25.05.2013, 03:08

Dorn

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^{} 3}{3} \end{eqnarray*}$

DAnn die 3 und 2 einsetzten.

25.05.2013, 03:19

Dopap

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sei bitte nicht so schreibfaul.

Das Integral darf nur die Variable y enthalten. Du solltest also x^2 in y ausdrücken.

25.05.2013, 03:22

Dorn

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Stimmt denn meine Idee ganz am Anfang nicht.

Muss ich nicht Wurzel ziehen

bzw y quadrieren

25.05.2013, 03:45

Dorn

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$\begin{eqnarray*} \frac{3y^{4}}{4} -\frac{2y^{4} }{4} =\frac{65}{4}*pi \end{eqnarray*}$

Ergebnis sollte V=53/2Pi sein. Dies habe ich nicht, sondern 51,05

25.05.2013, 03:48

Dopap

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das: x^2=y+3 war schon richtig, jetzt eben einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \rm Vol_y=\pi \int_{y=2}^{y=3}\, y+3 \, \dd y \end{eqnarray*}$

25.05.2013, 03:51

Dorn

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$\begin{eqnarray*} \frac{y^{2}}{2}*3y=x \end{eqnarray*}$

Meinst du es vielleicht ungefähr so

25.05.2013, 04:23

Dorn

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$\begin{eqnarray*} \frac{3^{4} }{4}-3*3-(\frac{2^{4} }{4} -3*2)=53/4 \end{eqnarray*}$

doch dies ist nicht wirklich das Ergebnis

25.05.2013, 04:39

Dopap

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was rechnest du da nur ?

$\begin{eqnarray*} \rm Vol_y=\pi \int_{y=2}^{y=3}\, y+3 \, \dd y = \frac {11}{2} \pi \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt. Wenn das nicht mit der Vorgabe übereinstimmt, dann liegt es an der Aufgabenstellung.

Vllt ist ja der "Kreiszylinder" gemeint mit x zwischen 2 und 3. verwirrt

25.05.2013, 04:42

Dorn

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Habe es leider noch nie gehört. Ich habe das original kopiert vom Lehrer smile

25.05.2013, 04:46

Dorn

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3+3=6
2+3=5

So erhalte ich die 11, doch $\begin{eqnarray*} \frac{11}{2pi} \end{eqnarray*}$ die 2er unter dem Bruchstrich? Ergebnis vom Leher ist V=53/2pi

Die Zahl 11 hatte ich, denn bei uns in der Lösung steht 53

25.05.2013, 05:13

Dopap

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also doch so.

Ich seh einen kleinen Hohlzylinder, darauf einen Schrägholzylinder. Wie sind denn die entprechenden Grenzen ?

25.05.2013, 21:46

Dorn

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Berechne das Volumen, das entsteht, wenn man die Fläche, die von der Funktion
h: y = x² - 3 und den Ordinaten 2 und 3 begrenzt wird, um die y-Achse rotieren lässt! (2 P)

dies ist mein original Text.

Ordinaten sind ja die Grenzbereiche glaube ich mal.

Ergebnis vom Leher ist V=53/2pi

26.05.2013, 03:26

Kasen75

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Hallo Dorn,

ich habe es nach der Formel hier berechnet:

$\begin{eqnarray*} V=2 \cdot \Pi \cdot \int_a^b \! (x \cdot f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 35 \cdot \frac{\Pi}{2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist ja ein Zahlendreher in der Lösung.

Grüße.

26.05.2013, 03:29

Dorn

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Ich hoffe es. Weil wir die Ergebnisse schon haben. Wir müssen es selber rechnen. Danke für deine MÜHE!

26.05.2013, 03:39

Kasen75

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Absolut kein Thema. Ich habe ja das Wenigste hier gepostet, aber gerne.

Auf jeden Fall wünsche ich Dir eine gute Nacht. smile

26.05.2013, 03:51

Dorn

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Danke. Ich dir auch !! Wink

27.05.2013, 04:45

Dorn

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(3*(3^2)=27 statt x=3 einsetzte

(2*(2^2)=8 statt x=2 einsetzte

Komme ich so auf das Ergebnis= $\begin{eqnarray*} 35*\frac{pi}{2} \end{eqnarray*}$

27.05.2013, 05:36

Kasen75

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Hallo Dorn,

was willst du mir damit sagen?

Bitte ausführlicher.

28.05.2013, 03:46

Dorn

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Ich kapiere diese Aufgabe einfach nicht. Berechnung um die X-Achse funktioniert, aber um die y-Achse kann ich es nicht.

Auf die 35 bin ich gekommen, aber ob das der richtige Rechenweg ist, mit 3 und 2 (wie oben beschrieben) einsetzen, weiss ich nicht.

Danke für deine Unterstützung und Rückmeldung! Es liegt an meinem Verständnis traurig

28.05.2013, 16:34

Kasen75

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Zitat:

Original von Kasen75

ich habe es nach der Formel hier berechnet:

$\begin{eqnarray*} V=2 \cdot \Pi \cdot \int_a^b \! (x \cdot f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 35 \cdot \frac{\Pi}{2} \end{eqnarray*}$

Um die Formel anzuwenden, muss man folgende Schritte gehen:

1. $\begin{eqnarray*} x \cdot f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ berechnen.

2. g(x) integrieren (ohne Konstante). Das ergibt dann eine Stammfunktion G(x)

3. Die Grenzen in G(x) einsetzen: $\begin{eqnarray*} G(b)-G(a) \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \Pi \cdot \bigg(G(a)-G(b)\bigg) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Versuche mal die einzelnen Schritte. Numeriere bitte auch die einzelnen Schritte.

28.05.2013, 20:23

Dorn

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1.

$\begin{eqnarray*} x*(x^{2}-3) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x^{3} -3x \end{eqnarray*}$ ist meine g(x)

2. Integrieren

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{4} }{4}-3*\frac{x^{2} }{2} \end{eqnarray*}$ ist meine G(x) Stammfunktion

3. Grenzen einsetzten

$\begin{eqnarray*} (\frac{3^{4} }{4}-3*\frac{3^{2} }{2})-(\frac{2^{4} }{4}-3*\frac{2^{2}}{2}) \end{eqnarray*}$

4.

$\begin{eqnarray*} 2* Pi* (\frac{27}{4})-(\frac{-8}{4}) \end{eqnarray*}$

2*pi*( $\begin{eqnarray*} \frac{35}{4}) \end{eqnarray*}$

wenn ich kürze komme ich auf $\begin{eqnarray*} 2*pi*(\frac{35}{2}) \end{eqnarray*}$

Vielen, Vielen Dank!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ich habe eine Freudeeeeeeeeeee Augenzwinkern

öfters editiert, da ich mit dem Formeleditor mich noch nicht befreundet habe

28.05.2013, 21:13

Kasen75

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Freut mich, dass es so gut geklappt hat. smile

Das habe ich so, ehrlich gesagt, nicht erwartet. Umso schöner, wenn man positiv überrascht wird.

Auch deine Latexdarstellung ist sehr schön geworden.

Der Vollständigkeit halber: In der letzten Zeile steht natürlich $\begin{eqnarray*} \pi*\left(\frac{35}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Kleiner Tipp:
Für die Klammern, die sich automatisch anpassen, habe ich diesen Code verwendet:

code:
1:	\left(\frac{35}{2} \right)

Ich, als inoffizieller Editierkönig, kann gar nichts gegen deine Änderungen haben.

Grüße.

29.05.2013, 00:47

Dorn

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Ich habe die ganze Woche immer wieder diese Aufgabe probiert, x -Stunden investiert und die Freude war riesig. Du hast mir seit ich mit der Mathe-Abitur angenfangen habe öfters geholfen (vielleicht erinnerst du dich noch).

Am Anfang war ich soooooo schlecht, doch in der zwischen Zeit macht Mathe Spaß, solange ich die Themen kann. Ich danke dir bzw allen Mitgliedern für eure Unterstützungen und bin sehr froh, dass es überhaupt ein Matheboard und Euch alle gibt.

Auf diesem Weg möchte ich mich bei Gmasterflash für seine Unterstützungen in den letzten eineinhalb Jahren und Freundschaft bedanken.

Nächste Woche habe ich meine Mathe-Klausur und hoffe das es mir gelingt. Freude

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