Partialbruchzerlegung quadratischer Nenner

Neue Frage »

klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung quadratischer Nenner
Meine Frage:
Ich habe die Funktion und muss diese Integrieren. Ich hab erstmal den Zähler rausgezogen damit das alles ein wenige besser aussieht. .
Ich betrachte nun nur noch den Bruch. Nur macht mir der Nenner sorgen, weil er quadratisch ist und ich keinen vernünftigen Wert für A rausbekomme.

Meine Ideen:


Dann gemeinsamen Nenner suchen:





Jetzt setzte ich für x= -1 ein und dann erhalte ich für B = 1 doch wie bekomme ich denn einen Wert für A raus?
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung quadratischer Nenner
Ich schätze mal das ich irgendwo übel hänge :/
 
 
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung quadratischer Nenner
Wink

Multipliziere mal aus und mache mal bitte einen Koeffizientenvergleich,
dann wirst du etwas feststellen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn B=1 ist, dann ist 0=A(x+1) --> A=0

das bringt aber nix, es bleibt bei

da brauchst du schon einen anderen Ansatz. Die Stammfunktion ist nicht einfach.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Tipp:

Substtuiere



danach Partialbruchzerlegung
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiers mit deiner Sub.





was wiederum das hier bedeutet

Sub ins Integral eingesetzt:



Nenner kann man umschreiben in

somit ist und eingesetzt ins Integral:



Vereinfacht:



Partialbruchzerlegung:



Gemeinsamer Nenner gefunden:


Alles auf eine Seite und ausgeklammert:



u aus Komponenten rausgezogen:



A,B,C und D bestimmt:

A=0
B=1
C=0
D=-1

Dann wäre ja mein Ergebnis nachdem ich die Werte eingesetzt habe

Wars das dann? Oder ist da ein grober Schnitzer?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Klasse, alles richtig

Tanzen

jetzt mußt Du den Ausdruck in 2 Integrale aufspalten . es geht weiter.
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 vorm Integral beachten.



Das erste Integral ist leicht zu berechnen:



Beim Zweiten dacht ich an eine Sub vom Nenner (ohne Quadrat) und dann wieder Partialbruchzerlegung:







Eingesetzt:



Umgestalten von u:

wird zu

Eingesetzt:



Und dann Partialbruchzerlegung anlegen? Aber da tu ich mich jetzt schwer... heißt es dann ?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

ja das 1.Integral ist richtig.

Beim 2. Integral substituiere z= tan v

dann erhälst Du



was dir denke ich keine Probleme bereitet,

nach der Resubstitution bist Du dann fertig

:-)
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid das versteh ich nicht :/
Wie kann ich
zu substituieren?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

es fehlt dort noch ein Quadrat.

nutze dabei folgende Beziehungen:



und



siehe Wikipedia

dann kommst Du auf das Cos Integral .
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh...ich kann dir nicht folgen. Wo setzt du die Sub an?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Leite u= tan(v) mal bitte ab

sorry v ist es auf meinem Zettel, bei Dir ist es u
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist klar das tan(u) abgeleitet 1/cos^2(u) ergibt. Aber ich kann nicht nachvollziehen wie du die Sub anwendest. Ich mein in dem 2.ten Integral kann ich doch nicht einfach z=tan(u) machen weil ich kein tan(u) im Integral drin hab. Oder gibts da eine Subweisheit die ich nicht kenne?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

ich meine:

u= tan(v)











setze das mal bitte alles ein
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also meinst du so?



Dann meintest du und wobei umgeschreiben werden kann in mit dem quadrat ergibt sich logischerweiße

Nach du umgestellt ergibt das

Eingesetzt ins Integral:



Gekürzt:



Das kann ich wieder umschreiben in



Das wird dann zu

Und dieser Ausdruck integriert lautet dann

Dann die Resub mit u=tan(v) also acrtan*u=v ?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Klasse ja

Tanzen

Sag mir, was Du dann raus hast.

:-)


PS . die 2 nicht vergessen
da ist dann noch eine Resubsttution zu machen
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »



Gibts zu sin * cos kein Additionstheorem? Damit das besser aussieht?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

ja sowas gibt es , steht z.B. bei Wikipedia oder auch in anderen guten Formelsammlungen

es glit:


klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann wäre das der Ausdruck



Dann verschwindet der sin und cos



Und nach dem Schritt geht nichts mehr.

grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

doch , setze




und fasse dann bitte zusammen
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »



und dann



zum schluss

grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Klasse, stimmt

und nun noch eine Resubstitution

was hast Du raus?
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

+C nicht vergessen , ansonsten stimmt das Ergebnis.

Tanzen Tanzen Tanzen

Frage : Woher stammt diese Aufgabe? (nur so)

:-)
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich gehe auf die 13. Klasse einer BOS (Bayern) und ich bereite mich nur aufs Abi vor. Also die Aufgabe war von unserem Lehrer gestellt.



Das war die volle Aufgabe. Den Anfang hab ich ungefähr hingekriegt aber der Rest war schwer. Ich danke dir für deine Hilfe! Echt super das es so Leute wie dich gibt die mit viel Geduld und tollen Hilfestellungen einem helfen!
Die Aufgabe war nicht essentiell wichtig und sowas kommt auch nicht im Abi vor aber das hat mir gezeigt das integrieren wahrlich eine Kunst ist!

Danke nochmal!! Freude
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Gern doch. Alles Gute für das Abi. Manchmal hab ich den Eindruck ,das in Bayern
es einen Tick schwerer sein soll, aber ich weiss nicht, ob das stimmt.
Nur so mal.

:-)
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man auf einer BOS das Allgemeine Abitur macht und man ist auch noch auf dem Technischen Zweig, dann ist das Mathematik Abitur um einiges schwerer als das Abitur auf den normalen Gymnasien in Bayern.Dafür stinken wir in Sache Sprache ordentlich ab Big Laugh
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir unendlich leid nochmal den selben Sachverhalt auszupacken aber ich habe ein Problem mit meinem Integral. Die Lösung passt nicht zu meiner.

Ich schreibe hier meine Gedankengänge komplett auf. Ich weiß nämlich nicht wo der Fehler sein soll und das wäre mir wichtig . Danke schonmal vorab für eure Hilfe!















Klammer innerhalb ausmultipliziert, Gemeinsamen Nenner gesucht und vereinfacht.

















Ab hier gehts weiter mit der Partialbruchzerlegung:







A,B,C und D bestimmen









nur auf das rechte Teilintegral angewandt!!!

















Integriert

Ober- und Untersummer (kA wie man das darstellt)

Resub von Sub Nr.3 (also der rechte Teil)











Vereinfacht



Resub von Substituition Nr.2



Resub von Substitution Nr.1



Ober-und Untersumme einsetzen ergibt bei mir als Lösung 89 FE

Laut Musterlösung kommt raus.

Ihr seht schon an meinem Schreibeinsatz das mir viel daran liegt den Fehler zu finden. Ich hoffe einer weiß was da nicht stimmt.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Da iich diesen Tread betreut habe , ich kümmere mich nätürlich weiter
und melde mich schnellstmöglich.

smile
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir!
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Ich denke , ich habe "Deinen" Fehler gefunden

nach der Partialbruchzerlegung hast Du die - 4 nur für das 1. Integral berechnet.
Um die beiden Integrale ist aber eine Klammer zu setzen , was Du nicht getan hast.

Ich bekomme als Ergebnis 0.57 heraus.

smile
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst quasi das hier:





Die Minus 4 hab ich beachtet. Oder kuck ich falsch?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

ich meine nach der Partialbruchzerlegung mi A B C und D =
danach die übernächste Zeile mit der -4 , da fehlen die Klammern
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da fehlen die klammern aber die (-4) steht doch vorm Integralzeichen. Da brauch ich doch keine klammer weil die (-4) für den Inhalt des Integral mal genommen wird.
Erst einen Schritt danach hab ich die Klammern eingefügt weil ich das Integral gesplittet hab.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

aber die -4 gilt doch für beide Integrale

Wenn Du anderer Meinung bist, ich mache das heute Abend für Dich nochmal
einzeln auf meinem Zettel und melde mich dann wieder ,
aber 0,57 stimmt trotzdem.

Bis dann
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber ich rechne doch die integrale aus und dann zieh ich die 4 rein. Oder muss ich wenn ich das Integral splitte jeweils die -4 vorm Integral stehen haben? Das ergebnis bleibt aber doch dann auch gleich.
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid ich seh nicht warum das falsch sein soll. Danke für dein bemühen.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Ich meld mich heute abend nochmal , ja
ich darf hier keine Komplettlösungen reinschreiben , deswegen.

:-)

Ich hab nochmal geschaut, , obwohl die Klammern in der einen Zeile bei Dir weg sind, ist Dein Ergebnis doch richtig , kann noch zusammengefasst werden , für die 1 kann noch was anderes geschrieben werden, steht schon mal in den Thread.

Hast du Dich vielleicht verrechnet ?
klarlack89 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Komplettlösung würde ich auch nie von jemanden verlangen smile will hier schließlich was lernen smile

Dennoch versteh ich das nicht warum du das richtige Ergebnis rausbekommst und ich nicht. Ich habs jetzt bestimmt 20 mal Schritt für Schritt überprüft. Wo du gemeint hast das ich die -4 nur auf ein Integral angewendet habe stimmt nicht. Ich habe sie für beide hergenommen. Mhhh....bin irgendwie ratlos.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »