Reflexion eines Lichtstrahls

25.05.2013, 12:01

Skigirl95

Reflexion eines Lichtstrahls

Meine Frage:
Ein von der Quelle Q(20/6/0) in Richtung P(12/2/2) verlaufender Lichtstrahl wird an der xz-Ebene im Punkt R reflektiert und trifft danach im Punkte S auf die Kugel K: x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 20 = 0.
Berechne die Koordinaten von R und S!

Meine Ideen:
R habe ich herausgefunden mit der Parametergleichung: (x y z) = (20 6 0) + t(-8 -4 2), in dem ich y = 0 gesetzt habe. R ist demnach (8/0/3) (laut Lösung stimmt das auch)

Wie ich jetzt aber S herausfinde, weiss ich nicht!

25.05.2013, 12:14

HAL 9000

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Bei der Reflexion an der xz-Ebene (d.h. der Ebene $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ) ändert sich der Richtungsvektor des auftreffenden Strahls wie folgt:

x- und z-Komponente bleiben erhalten, die y-Komponente wechselt das Vorzeichen

D.h. nach der Refelexion bewegt dich der Strahl ausgehend vom Punkt $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

25.05.2013, 12:50

Skigirl95

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Mathe: Reflektion eines Lichtstrahls
Vielen Dank!

Und wie ist es hier:
Ein von der Quelle Q(5/38/-7) in Richtung P(3/22/-6) ausgehender Lichtstrahl wird an der Kugel K: (x - 3)^2 + (y + 8)^2 + z^2 = 225 reflektiert.
a) Welche Koordinaten hat der Reflektionspunkt R?
b) Bestimme eine Parametergleichung des refletierten Lichtstrahls.

Wieder habe ich das R herausgefunden. R(1/6/-5)

Und jetzt wie komme ich auf b)?

25.05.2013, 13:29

riwe

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RE: Mathe: Reflektion eines Lichtstrahls
eine mögliche möglichkeit:

bestimme den vektor $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\overrightarrow{MR} \end{eqnarray*}$

und nun schneide die gerade g durch M und R mit der ebene , die Q enthält und senkrecht auf g steht, damit ehält man den lotfußpunkt L.
von hier an sollte der weg klar sein

25.05.2013, 13:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Skigirl95
Ein von der Quelle Q(5/38/-7) in Richtung P(3/22/-6) ausgehender Lichtstrahl wird an der Kugel K: (x - 3)^2 + (y + 8)^2 + z^2 = 225 reflektiert.

Hab mich oben vor dem allgemeinen Fall gedrückt, aber nun ist es unumgänglich:

Triff ein Strahl mit Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ auf eine (lokal) glatte Oberfläche mit Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ im Auftreffpunkt, so kann man die Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{r'} \end{eqnarray*}$ des reflektierten Strahls durch folgende Bedingungen ermitteln:

1) $\begin{eqnarray*} \vec{r'} = \vec{r} + t \vec{n} \end{eqnarray*}$ mit geeigneter reeller Konstante $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} |\vec{r'}| = |\vec{r}| \end{eqnarray*}$

Daraus ermittelt man $\begin{eqnarray*} t = -\frac{2\vec{r}\cdot \vec{n}}{\vec{n}^2} \end{eqnarray*}$ , woraus sich dann

$\begin{eqnarray*} \vec{r'} = \vec{r} - \frac{2\vec{r}\cdot \vec{n}}{\vec{n}^2} \vec{n} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

ergibt. Im obigen Spezielfall etwa mit Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der xz-Ebene ergibt sich für $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemäß (*) die Reflexionsrichtung

$\begin{eqnarray*} \vec{r'} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} - 2\left( \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} - 2r_y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_x \\ -r_y \\ r_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

also in Übereinstimmung mit oben.

Die Flächennormale auf der Kugeloberfläche ist natürlich jeweis durch den Radiusvektor (d.h. vom Mittelpunkt ausgehend) gegeben.

25.05.2013, 14:32

Skigirl95

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Mathe: Reflektion eines Lichtstrahls
Irgendwie begreife ich das nicht ganz....

Ich habe also jetzt als Vektor r (4 32 -2) und als Normalenvektor der "Ebene" (-2 14 -5) oder?

Aber wie finde ich jetz r' heraus, also wie muss ich das jetzt genau in diese Formel einsetzten?

Sorry!

25.05.2013, 14:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Skigirl95
Irgendwie begreife ich das nicht ganz....

Ich habe also jetzt als Vektor r (4 32 -2) und als Normalenvektor der "Ebene" (-2 14 -5) oder?

Aber wie finde ich jetz r' heraus, also wie muss ich das jetzt genau in diese Formel einsetzten?

Ja, klar.

Wobei dein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ irgendwie die Gegenrichtung des Lichstrahls anzeigt... ist aber für die (ungerichtete) Geradengleichung an sich egal.

25.05.2013, 14:56

Skigirl95

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Mathe: Reflektion eines Lichtstrahls
Aber wie komme ich mit der Formel auf r'?

25.05.2013, 15:18

HAL 9000

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Ja wie jetzt? Du hast $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ , du hast $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , wo klemmt denn jetzt noch die Säge? Beim Berechnen des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} \vec{r} \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$ oder wo? verwirrt

25.05.2013, 15:34

Skigirl95

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also ich mache ja jetzt:

(4 32 -2) - 2*(-8+448+10)* (-2 14 -5)

Wie verrechne ich jetzt die Summe aus dem Skalarprodukt mit den Vektoren?

25.05.2013, 15:38

HAL 9000

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Das Skalarprodukt ist eine ganz normale reelle Zahl (übrigens hast du den Nenner $\begin{eqnarray*} \vec{n}^2 \end{eqnarray*}$ in deiner Rechnung vergessen). Kannst du denn nicht $\begin{eqnarray*} t\cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$ für eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnen? unglücklich

Wenn es dermaßen beim Rechnen mit Vektoren hapert:

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarmultiplikation

25.05.2013, 15:42

Skigirl95

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Mathe: Reflektion eines Lichtstrahls
Nein, ich weiss ja keine Koordinate von r'...

Hab echt keine Ahnung, wo der Knüppel ist! unglücklich

25.05.2013, 15:45

HAL 9000

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Ich geb's auf...

Zitat:

Original von Skigirl95
Nein, ich weiss ja keine Koordinate von r'

Meine Güte! $\begin{eqnarray*} \vec{r'} \end{eqnarray*}$ wird doch durch (*) erst BERECHNET mit gegebenen $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , was hast du denn gedacht?! Forum Kloppe

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