Rang bestimmen in Abhängigkeit von Parametern

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25.05.2013, 12:43	maoam007	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang bestimmen in Abhängigkeit von Parametern Meine Frage: Ich habe hier ein Beispiel, wo ich nach ewigen herumprobieren leider einfach nicht weiterkomme. Also. Bestimmen sie den Rang der Matrix in Abhängigkeit von den Parametern a,b aus R. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 1 & b & a-b\\ 3+b & 2 & a+b & 3-a\\ -b & -1 & -3 & 3-b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß, dass ich die Matrix auf Zeilenstufenform bringen muss, um den Rang abzulesen. Nur leider hab ich keine Ahnung womit ich hier anfangen soll.
25.05.2013, 13:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Transponierte sieht nach einigen Umformungen so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0 & 0 & (a-3)^2 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \neq 0 \land b \neq 0 \land a-b \neq 0 \land 2a-b-3 \neq 0 \land 3a-2b-3 \neq 0 \end{eqnarray}$ von Interesse sind wohl die Fälle a=3 und/oder b=3 und a=b
25.05.2013, 13:58	maoam007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. doch wie kommst du auf diese ZSF? Ich möchte es gern selbst nachvollziehen können.
25.05.2013, 14:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
oh je ! das ist Schreibarbeit. bitte um Geduld, muss jetzt erst noch Formel-Quali anschauen.
25.05.2013, 15:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ a & b+3 & -b \\ b & a+b & -3 \\ a-b & -a+3 &-b+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L2=L2-aL1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ b & a+b & -3 \\ a-b & -a+3 &-b+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L3=L3-bL1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0& a-b &b -3 \\ a-b & -a+3 &-b+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L4=L4-(a-b)L1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0& a-b &b -3 \\ 0& -3a+2b+3 &a-2b+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L3=(2a-b-3)L3+(a-b)L2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0& 0 & a^2-6a+9 \\ 0& -3a+2b+3 &a-2b+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L4=(2a-b-3)L4-(3a-2b-3)L2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0& 0 & a^2-6a+9 \\ 0& 0 &-a^2+6a-9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L4=L4+L3 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2a+b+3 & a-b \\ 0& 0 & a^2-6a+9 \\ 0& 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
25.05.2013, 15:44	maoam007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Vielen Dank für die aufwendige Arbeit. Wie ich sehe, hast du die Matrix zuvor transponiert. Dann war es natürlich möglich diese Matrix in Zeilenstufenform zu bringen. Darauf wäre ich nie gekommen. Nur noch eine Frage. Kann man jede Matrix einfach so transponieren, um eine bessere Struktur zu erhalten?
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25.05.2013, 16:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also im Falle der Rangbestimmung schon. Es geht auch mit der Originalmatrix, aber dann sind die Zeilen so lang... ---------- Und, welchen Rang hat die nun für a=3 und für $\begin{eqnarray} a \neq 3 \end{eqnarray}$ ?
25.05.2013, 16:39	maoam007	Auf diesen Beitrag antworten »
. Also. Für a = 3 und $\begin{eqnarray} b \neq 3 \end{eqnarray}$ ist der Rang 2, für a = 3 und b = 3 Rang: 1 und für $\begin{eqnarray} a \neq 3 \end{eqnarray}$ Rang: 3
25.05.2013, 16:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das kann man so stehen lassen.
25.05.2013, 17:06	maoam007	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE für deine Hilfe

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