Prinzip! Anfangswert

25.05.2013, 13:22

Matty12

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Anfangswert

Meine Frage:
Hallo ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest:

Bestimmen sie die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$\begin{eqnarray*} y'+x*y'-x*y = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y'*(1+x) -x*y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'*(1+x) = x*y \end{eqnarray*}$

integrieren:

$\begin{eqnarray*} ln(|y|) = \int_a^b \! \frac{x}{(1+x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist es soweit richtig?

Auf das rechte integral substituiert :

u = 1+x

$\begin{eqnarray*} ln(|y|) = \int_a^b \! \frac{(u-1)}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

Falls das richtig ist?

Meine Ideen:
gepostet

25.05.2013, 13:39

schultz

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einfach ausmultiplizieren ergibt 1-1/u, das kannst du dann einfach integrieren

25.05.2013, 13:52

Matty12

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Dann hätte ich das :

ln(|y|) = u - ln(|u|) +c

$\begin{eqnarray*} e^{lny }= e^u - e^l{nu} *e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |y| = e^u - u *e^c \end{eqnarray*}$

WIe gehe ich weiter vor?

25.05.2013, 17:01

Matty12

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Hat jemand eine Idee wie ich genau weiter Vorgehen soll?

25.05.2013, 18:47

Kasen75

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Hallo,

ich hatte eine andere Vorgehensweise. Ich habe ohne Substitution die rechte Seite integriert:

$\begin{eqnarray*} ln|y| = \int \! \frac{x}{1+x} \, dx \end{eqnarray*}$

Zur Vorbereitung der Integration kannst du eine Partialbruchzerlegung durchführen.
Edit: Polynomdivision reicht auch.

Den Weg mit der Substution hat bei mir nicht geklappt. Deswegen kann ich dazu keinen Vorschlag machen.

Grüße.

25.05.2013, 20:31

Matty21

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Soll ich für die polynomdivision x durch x+1 teilen?

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25.05.2013, 21:42

Kasen75

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Ja.

smile

25.05.2013, 22:25

Matty21

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x/x+1 = 1 R1

Wie gehe ich weiter vor?

25.05.2013, 22:39

Kasen75

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Was immer du raushast. Jetzt kannst du integrieren.
Vielleicht schreibst du erstmal deutlicher hin, was das Ergebnis deiner Polyn.-Div. ist.
Raus ist auf jeden Fall schon mal Dortmund. traurig

traurig

25.05.2013, 23:44

Matty21

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Wie soll ich 1 Rest 1 integrieren ? verwirrt

verwirrt

25.05.2013, 23:52

Kasen75

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Prinzipiell gilt: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x} \, dx=ln(x)+c \end{eqnarray*}$

Da dein Rest so ähnlich aussieht, sieht auch die Aufleitung so ähnlich aus.

Wie sieht denn jetzt das Ergebnis deiner Polynomdivision genau aus ?

26.05.2013, 01:00

Matty12

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Dann muss ich dieses Integral berechnen oder ?

1 + 1/x+1 ?

26.05.2013, 01:09

Kasen75

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Das Ergebnis der Polynomdivision sieht ein kleines bisschen anders aus (siehe Anhang). Beachte das negative Vorzeichen des zweiten Summanden.
Dieses musst du integrieren.

26.05.2013, 01:16

Matty12

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Stimmt meine rechnung jetzt soweit?

26.05.2013, 01:29

Kasen75

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Fast.

$\begin{eqnarray*} y_h=e^x \cdot \frac{1}{x+1}\cdot e^c \end{eqnarray*}$

Du hast das Pluszeichen bei dem c im Exponenten richtig interpretiert und deswegen $\begin{eqnarray*} \cdot e^c \end{eqnarray*}$ geschrieben. Das Minuszeichen bei $\begin{eqnarray*} e^{-ln(x+1)} \end{eqnarray*}$ sorgt dementspreichend dafür, dass x+1 in den Nenner kommt.

Ich habe dann noch statt $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ geschrieben, da beide Konstanten sind. In welcher Form man diese hinschreibt ist egal:

$\begin{eqnarray*} y_h=e^x \cdot \frac{1}{x+1}\cdot C \end{eqnarray*}$

Die inhomogene Lösung ist somit:

$\begin{eqnarray*} y_I=e^x \cdot \frac{1}{x+1}\cdot C(x) \end{eqnarray*}$

Hier musst du jetzt für die Ableitung die Produktregel für 3 Faktoren anwenden, wobei die Ableitung von $\begin{eqnarray*} C(x) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} C'(x) \end{eqnarray*}$ ist.

26.05.2013, 01:32

Matty12

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Wieso kommst du auf das hier :

1/x+1 ?

Das verstehe ich nicht.

Und auch als vorzeichen müsste es doch minus sein oder?

26.05.2013, 01:38

Matty12

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Ist die dreifache produktregel so richtig`?

26.05.2013, 01:48

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} e^{a-b} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} e^a \cdot e^{-b} \end{eqnarray*}$

Wenn im Exponenten ein negatives Vorzeichen steht, bewirkt dies praktische einen Kehrwert.

$\begin{eqnarray*} e^{-b}=\frac{1}{e^b} \end{eqnarray*}$

Zu deinem letzten Beitrag:

Wichtig: Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Die Produktregel für drei Faktoren ist:

$\begin{eqnarray*} \bigg( u \cdot v \cdot w \bigg)'= u' \cdot v \cdot w+u\cdot v' \cdot w+u\cdot v \cdot w' \end{eqnarray*}$

Somit jeweils pro Summand einen Faktor ableiten und die anderen beiden Faktoren nicht.

Somit stimmt deine Ableitung leider nicht.

26.05.2013, 01:58

Matty12

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Puuh ok .

Stimmt jetzt meine Ableitung?

26.05.2013, 02:05

Kasen75

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Perfekt.

Freude

Es ist aber $\begin{eqnarray*} y_I' \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} y_h' \end{eqnarray*}$

Puhh. Das ist ja auch keine ganz leichte Aufgabe.

Den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} y_I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_I' \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt in die Differentialgleichung einsetzen.

Es sollte sich etwas gegenseitig aufheben.

26.05.2013, 02:14

Matty12

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Man o Man was kürzt sich jetzt hier weg?

$\begin{eqnarray*} e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) +e^x*(- \frac{1}{(x+1)^2} *C(x)+e^x*\frac{1}{(x+1)}*C'(x)+x*(e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) +e^x*(- \frac{1}{(x+1)^2} *C(x)+e^x*\frac{1}{(x+1)}*C'(x)) -x*(e^x*\frac{1}{x+1}*C(x) )= 1 \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 02:34

Kasen75

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Der Ausdruck ist ziemlich lang. Er ist so lang, dass gar nicht mal sagen kann ob er richtig ist. Du kannst es ja dann selber überprüfen.
Ich arbeite erstmal mit meinem Ausdruck dann weiter.

Ich habe für diese Gleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)\cdot y'=x\cdot y +1 \end{eqnarray*}$ folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} e^x \cdot C(x)-e^x \cdot C(x) \cdot \frac{1}{1+x}+e^x \cdot C'(x)=e^x \cdot C(x) \cdot \frac{x}{1+x}+1 \end{eqnarray*}$

Ich habe auf der linken Seite gleich mit dem Faktor (1+x) gekürzt.

Den ersten Summanden kann man mit $\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{1+x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{e^x \cdot C(x) \cdot \frac{1+x}{1+x}}\textcolor{red}{-e^x \cdot C(x) \cdot \frac{1}{1+x}}+e^x \cdot C'(x)=e^x \cdot C(x) \cdot \frac{x}{1+x}+1 \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Summanden kann man nun zusammenfassen. Vielleicht siehst du dann den äquivalenten Ausdruck auf der rechten Seite.

26.05.2013, 11:27

Matty12

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Ok ich verstehe nicht so ganz wie du auf deine Gleichung kommst .

Ich glaub wir müssen schrittweise vorgehen:

Ich habe zuerst einmal in deine Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)*y' = x*y+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)*e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) \end{eqnarray*}$

Was hast du nach dem einsetzen genau gemacht?

WIe hast du da genau gekürzt ?

Ich weiss die Gleichung ist lang aber was soll man machen.

26.05.2013, 11:29

Matty12

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Zitat:

Original von Matty12
Ok ich verstehe nicht so ganz wie du auf deine Gleichung kommst .

Ich glaub wir müssen schrittweise vorgehen:

Ich habe zuerst einmal in deine Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)*y' = x*y+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)*e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) \end{eqnarray*}$

Was hast du nach dem einsetzen genau gemacht?

WIe hast du da genau gekürzt ?

Ich weiss die Gleichung ist lang aber was soll man machen.

Tschuldigung nochmal korrigiert:

$\begin{eqnarray*} (1+x)*e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) +1 \end{eqnarray*}$

Was hast du hiernach genau gemacht?

26.05.2013, 11:45

Iorek

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@Matty12, dir wurde bereits mehrfach gesagt, dass du im Hochschulbereich Eigenintiative leisten musst, bisher hast du dir mal wieder von Kasen alles vorkauen lassen. Kürzen lernt man in der 6ten Klasse, auf der Uni sollte man das dann spätestens beherrschen. Wenn du weiter keine eigene Arbeit in diesen Thread investierst, wird auch dieser wieder geschlossen.

26.05.2013, 16:40

Matty12

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Wie hast du denn genau gekürzt Kasen?

26.05.2013, 17:55

Kasen75

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Zitat:

Original von Matty12

$\begin{eqnarray*} (1+x)*y' = x*y+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)*e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) \end{eqnarray*}$

Du hast hier die Klammer vergessen. Mit Klammer:

$\begin{eqnarray*} (1+x)* \left( e^x * \frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) \right) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 18:02

Che Netzer

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OT:
Du kannst Klammern färben, indem du die Farbe danach wieder umschaltest:
$\begin{eqnarray*} (1+x)*\color{red}\left(\color{black} e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) \color{red}\right)\color{black} = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x) \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 18:26

Matty21

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Wieso steht bei euch auf der rechten Seite kein +1 ?

Oder wie habt ihr das genau gekürzt ?

26.05.2013, 19:24

Kasen75

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Zitat:

Original von Matty21
Wieso steht bei euch auf der rechten Seite kein +1 ?

Oder wie habt ihr das genau gekürzt ?

Weil die 1 irgendwie beim Übertragen verlorengegangen ist. Jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} (1+x)*\color{red}\left(\color{black} e^x *\frac{1}{x+1}*C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)^2}*C(x) +e^x *\frac{1}{x+1}*C'(x) \color{red}\right)\color{black} = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x)+1 \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt jeden Summanden in der Klammer mit (1+x) multiplizieren und dann dementsprechend kürzen.

@Che Netzer

Danke für die Latex-Nachhilfe.

26.05.2013, 19:31

Matty12

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Aha jetzt verstehe ich es ein wenig .

Gekürzt habe ich das jetzt stehen.

Jetzt noch bitte einen kleinen tipp ,wei ich weiter vorgehen soll?

Ich muss leider wieder nachfragen.

Aber ich hab halt ein wenig schwierigkeiten damit.

26.05.2013, 19:47

Kasen75

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Was hat denn (1+x) denn noch hier als Faktor (am Anfang) zu suchen ?
Dieser Faktor muss weg. Du hast ja gekürzt.

Deine rechte Seite stimmt nicht. Es wird nur die linke Seite mit (1+x) verrechnet. Die rechte Seite bleibt wie sie ist.

Es muss so ausssehen:

$\begin{eqnarray*} e^x *C(x) - e^x*\frac{1}{(x+1)}*C(x) +e^x *C'(x) = x*e^x *\frac{1}{x+1} *C(x)+1 \end{eqnarray*}$

Den ersten Summanden hätte man eigentlich nicht kürzen müssen. Es ist ein kleiner Umweg.

Denn jetzt muss man $\begin{eqnarray*} e^x \cdot C(x) \end{eqnarray*}$ wieder mit $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ erweitern, um ihn mit dem zweiten Summanden verrechnen zu können.

26.05.2013, 20:20

Matty12

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Wieso kürzt sich der erste klammer ausdruck weg ?

Das verstehe ich nicht .

Es wird ja mit 1+x multipliziert .

WIe kürzt sich das dann weg?

Die aufgabe ist echt hart.

26.05.2013, 20:30

sulo

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Nachdem Iorek schon gesagt hatte, dass mehr von dir kommen muss als (wie immer) ewiges Nachfragen, schließe ich an dieser Stelle.

Wie schon so oft erklärt: Wie geben hier Hilfe zur Selbsthilfe.
Wir rechnen nicht vor - auch nicht in Etappen, worauf es hier aber wieder mal hinausläuft.

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