Lineare Gruppen über dem Körper F3

25.05.2013, 13:45

steviehawk

Lineare Gruppen über dem Körper F3

Meine Frage:
Hallo Leute, ich sitze mal wieder an einer Aufgabe und könnte reichlich Hilfe gebrauchen!

Wir betrachten die Gruppe $\begin{eqnarray*} G = SL_2(\mathbb F_3) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 = \mathbb Z / 3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Körper mit 3 Elementen ist. Mit dem Formeln der Vorlesung ist $\begin{eqnarray*} |GL_2(\mathbb F_3)| = 48 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |G| = 24 \end{eqnarray*}$

a) Wie viele Elemente der Ordnung 2 gibt es in G?

Meine Ideen:
Also $\begin{eqnarray*} G = SL_2(\mathbb F_3) \end{eqnarray*}$ ist doch die Gruppe der $\begin{eqnarray*} 2x2 \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ deren Determinante 1 ist oder?

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 = \left\{ 0,1,2 \right\} \end{eqnarray*}$ wie man darin rechnet $\begin{eqnarray*} +, \cdot \end{eqnarray*}$ ist mir klar!

Es gibt ja "nur" 24 Stück, soll ich die alle mal aufschreiben?? Und dann einzeln prüfen?

Danke für die Hilfe!

Edit: Die Gruppe wird ja von den Matrizen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & b & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erzeugt, wie hilft mir das weiter?

25.05.2013, 17:07

watcher

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Hallo,

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} G = SL_2(\mathbb F_3) \end{eqnarray*}$ ist doch die Gruppe der $\begin{eqnarray*} 2x2 \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ deren Determinante 1 ist oder?

Ja.

Hier hilft der ganz banale Ansatz:
Nimm $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und stell Bedingungen an die Koeffizienten auf so, dass A²=E gilt.
Dann reichen zwei kurze Fallunterscheidungen.

P.S. $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 12:03

steviehawk

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Also die Bedingung habe ich mal aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} a^2 + bc = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ab + bd = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ca + dc = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cb + d^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Der Fall: $\begin{eqnarray*} c=b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=d=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt trivialerweise alles, war vorher schon klar!

Es muss ja auch noch Determinante immer 1 sein.. wie lasse ich das mit einfließen?

Wie sieht der nächste Fall dann aus??

26.05.2013, 14:01

steviehawk

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Ich habs jetzt - nicht dass sich noch einer die Mühe macht, kein Bedarf mehr Wink

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