Determinanten, Nullfunktion

25.05.2013, 14:06

amaik

Determinanten, Nullfunktion

Hallo. Ich berechne geradr folgende Aufgabe und bin glaub ich auf einem guten Weg. Wäre schön wenn wir jemand beim Ende helfen kann. Also die Aufgabe lautet:

Sei V ein Vektorraum endlicher Dimension über einem Körper K. Seien $\begin{eqnarray*} \phi, \psi \in End(V) \end{eqnarray*}$
und sei $\begin{eqnarray*} \phi \circ \psi \end{eqnarray*}$ eine Nullfunktion aber $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sind nicht die Nullfunktion. Man Zeige $\begin{eqnarray*} det\phi = det\psi = 0 \end{eqnarray*}$

Also mein Ansatz hierzu: Ich habe Zuerst mal geschlossen , dass Im( $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ) gleich Ker( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) sein muss. Ich weiß nicht ob man das braucht aber sollte doch stimmen. Weiter hab ich dann $\begin{eqnarray*} v \in V , v \neq 0 \end{eqnarray*}$ gewählt. O gleich der Matrixdarstellug von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gesetzt und U gleich der Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ . Im Anschluss wollte ich jetzt durch Widerspruch beweisen, dass es keine invertierbaren Matritzen von O und U geben darf, wenn ich annehme, dass die Determinante von beiden $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Dann komm ich beim Auflösen immer auf v = 0. Aber das ist noch kein Wiederspruch oder, und bedeutet nur das die Gleichung für v lösbar ist, oder ist das schon der Widerspruch? Wenn es keiner ist, wie kann ich es sonst zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe.

25.05.2013, 14:28

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Meinst du mit "einer Nullfunktion", dass $\begin{eqnarray*} \phi \circ \psi = 0 \end{eqnarray*}$ ?

25.05.2013, 14:59

amaik

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RE: Determinanten, Nullfunktion

Zitat:

Original von sbh
Meinst du mit "einer Nullfunktion", dass $\begin{eqnarray*} \phi \circ \psi = 0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \forall v \in V \end{eqnarray*}$ , ja.

25.05.2013, 15:06

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Dann überleg mal ob wirklich $\begin{eqnarray*} \phi \text{ und } \psi \end{eqnarray*}$ gleichzeitig Determinante ungleich 0 haben können wenn deine Vorraussetzung erfüllt ist.

PS: Je nach dem wie gut du dich in Ringen auskennst kannst du alternativ auch $\begin{eqnarray*} (End_k(V),+,\circ) \end{eqnarray*}$ als Ring betrachten. Damit lässt sich die Aussage relativ einfach zeigen.

26.05.2013, 09:25

amaik

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Hmm tut mir Leid, kannst du vieleicht etwas spezifischer werden, komme nicht darauf was du meinst.

26.05.2013, 10:49

sbh

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na .. angenommen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wäre bijektiv ( <=> $\begin{eqnarray*} det \phi \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) dann wäre $\begin{eqnarray*} ker \phi = \{0 \} \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} Im \psi = ker \phi \end{eqnarray*}$ . Also wäre $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ konstant 0 und somit eindeutig nicht bijektiv. EIn ähnliches Argument geht auch für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ bijektiv wäre.

Also wird der Fall dass $\begin{eqnarray*} det \psi \neq 0 \neq det \phi \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen.

haben beide Determinnate ungleich 0 ist die Behauptung erfüllt. Also musst du nur noch den Fall betrachten, dass genau einer von beiden bijektiv ist

26.05.2013, 10:54

RavenOnJ

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Es muss nicht gelten $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(\psi)=\operatorname{Ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ , schon bei $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(\psi)\subseteq\operatorname{Ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\phi\circ\psi)(v) = 0,\forall v\in V \end{eqnarray*}$ . Es reicht also, wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(\psi) \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ ist.

26.05.2013, 11:21

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Stimmt. Pardon. Aber es ändert nichts an der Argumentation wenn ich nicht irre

26.05.2013, 11:45

RavenOnJ

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RE: Determinanten, Nullfunktion
War eigentlich auch als Einwurf auf den ursprünglichen Post von amaik gedacht, in dem er ja diese Behauptung aufstellt.

@sbh
An deiner Argumentation stört mich was anderes.

Zitat:

haben beide Determinnate ungleich 0 ist die Behauptung erfüllt.

Welche Behauptung meinst du jetzt? Wenn beide Abbildungen Determinante ungleich 0 haben, dann kann offenbar $\begin{eqnarray*} \phi\circ\psi \end{eqnarray*}$ nicht die Nullabbildung sein, da ja dann $\begin{eqnarray*} \phi\circ\psi \end{eqnarray*}$ invertierbar wäre. Es gilt aber zu zeigen, dass nicht nur eine von beiden Abbildungen Determinante =0 haben muss, sondern sogar beide. Man muss also zeigen, dass eine der Abbildungen entgegen der Voraussetzung eine Nullabbildung sein muss, wenn die andere Determinante ungleich 0 hat.

26.05.2013, 11:47

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
oh... Tippfehler. Gemeint war natürlich beide Determinanten gleich Null. Ungleich 0 hab ich ja oben ausgeschlossen.

Das tut mir jetzt leid :/

26.05.2013, 12:02

RavenOnJ

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RE: Determinanten, Nullfunktion

Zitat:

Original von sbh
oh... Tippfehler. Gemeint war natürlich beide gleich Null. Ungleich 0 hab ich ja oben behandelt.

Du meintest also eigentlich "haben beide Determinante gleich 0, dann ist die Behauptung erfüllt". Nur welche Behauptung meinst du? Wenn beide Abbildungen Determinante =0 haben, dann muss noch lange nicht $\begin{eqnarray*} \phi\circ\psi \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung sein.

Wir haben den Fall behandelt, dass beide Determinanten ungleich 0 sind (dann kann $\begin{eqnarray*} \phi\circ\psi \end{eqnarray*}$ nicht die Nullabbildung sein), sowie den Fall, dass nur eine der Abbildungen bijektiv ist, woraus du dann gefolgert hat, dass mindestens eine der beiden Determinanten =0 sein muss. Das ist richtig. Es gilt sogar verschärft, dass diese Abbildung Nullabbildung sein muss, entgegen der Voraussetzung.

26.05.2013, 12:45

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Wir setzen voraus $\begin{eqnarray*} \psi \circ \phi = 0 \end{eqnarray*}$ , und wollen $\begin{eqnarray*} det \phi = det \psi =0 \end{eqnarray*}$ zeigen. Es gibt da ja von vorne herein erst mal die 3 Fälle: beide det =0, nur eine det=0, beide det ungleich 0. Und die kann man nun nacheinander abarbeiten.

Ok, der Fall 2 und 3 lassen sich beide mit dem gleichen Argument zeigen fällt mir grad auf.
Ich denke mal wir beide haben die gleiche Idee hier ^^

26.05.2013, 13:01

RavenOnJ

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RE: Determinanten, Nullfunktion

Zitat:

Original von sbh
Wir setzen voraus $\begin{eqnarray*} \psi \circ \phi = 0 \end{eqnarray*}$ , und wollen $\begin{eqnarray*} det \phi = det \psi =0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Unter der wichtigen zusätzlichen Voraussetzung, das keine der beiden Abbildungen eine Nullabbildung ist. Nur deswegen scheidet aus, dass eine der Abbildungen bijektiv sein kann, also Determinante ungleich 0 hat. Also müssen beide Abbildungen Determinante =0 haben.

26.05.2013, 13:02

sbh

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RE: Determinanten, Nullfunktion
Mir is das klar. Nur ich weis ja nicht was ich als Vorwissen voraussetzen kann. Deswegen erstmal von Hand zu Fuß

26.05.2013, 13:36

RavenOnJ

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Ich denke, zumindest darf man voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(\phi\circ\psi) = \operatorname{det}(\phi) \cdot \operatorname{det}(\psi) \end{eqnarray*}$ bekannt ist. Wenn also $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(\phi\circ\psi) =0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(\phi) =0\lor \operatorname{det}(\psi) =0 \end{eqnarray*}$ . Dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(\phi) \not=0\land \operatorname{det}(\psi) =0 \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) nicht gelten darf, hast du eigentlich schon gezeigt. Damit bleibt für den Fragesteller nichts mehr zu tun.

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