Determinanten, Nullfunktion

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amaik Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten, Nullfunktion
Hallo. Ich berechne geradr folgende Aufgabe und bin glaub ich auf einem guten Weg. Wäre schön wenn wir jemand beim Ende helfen kann. Also die Aufgabe lautet:

Sei V ein Vektorraum endlicher Dimension über einem Körper K. Seien
und sei eine Nullfunktion aber und sind nicht die Nullfunktion. Man Zeige

Also mein Ansatz hierzu: Ich habe Zuerst mal geschlossen , dass Im() gleich Ker() sein muss. Ich weiß nicht ob man das braucht aber sollte doch stimmen. Weiter hab ich dann gewählt. O gleich der Matrixdarstellug von gesetzt und U gleich der Matrixdarstellung von . Im Anschluss wollte ich jetzt durch Widerspruch beweisen, dass es keine invertierbaren Matritzen von O und U geben darf, wenn ich annehme, dass die Determinante von beiden ist.
Dann komm ich beim Auflösen immer auf v = 0. Aber das ist noch kein Wiederspruch oder, und bedeutet nur das die Gleichung für v lösbar ist, oder ist das schon der Widerspruch? Wenn es keiner ist, wie kann ich es sonst zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Meinst du mit "einer Nullfunktion", dass ?
 
 
amaik Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Zitat:
Original von sbh
Meinst du mit "einer Nullfunktion", dass ?


, ja.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Dann überleg mal ob wirklich gleichzeitig Determinante ungleich 0 haben können wenn deine Vorraussetzung erfüllt ist.


PS: Je nach dem wie gut du dich in Ringen auskennst kannst du alternativ auch als Ring betrachten. Damit lässt sich die Aussage relativ einfach zeigen.
amaik Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm tut mir Leid, kannst du vieleicht etwas spezifischer werden, komme nicht darauf was du meinst.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »

na .. angenommen wäre bijektiv ( <=> ) dann wäre . Aber . Also wäre konstant 0 und somit eindeutig nicht bijektiv. EIn ähnliches Argument geht auch für den Fall, dass bijektiv wäre.

Also wird der Fall dass ausgeschlossen.

haben beide Determinnate ungleich 0 ist die Behauptung erfüllt. Also musst du nur noch den Fall betrachten, dass genau einer von beiden bijektiv ist
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Es muss nicht gelten , schon bei gilt . Es reicht also, wenn Unterraum von ist.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Stimmt. Pardon. Aber es ändert nichts an der Argumentation wenn ich nicht irre
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
War eigentlich auch als Einwurf auf den ursprünglichen Post von amaik gedacht, in dem er ja diese Behauptung aufstellt.

@sbh
An deiner Argumentation stört mich was anderes.
Zitat:

haben beide Determinnate ungleich 0 ist die Behauptung erfüllt.


Welche Behauptung meinst du jetzt? Wenn beide Abbildungen Determinante ungleich 0 haben, dann kann offenbar nicht die Nullabbildung sein, da ja dann invertierbar wäre. Es gilt aber zu zeigen, dass nicht nur eine von beiden Abbildungen Determinante =0 haben muss, sondern sogar beide. Man muss also zeigen, dass eine der Abbildungen entgegen der Voraussetzung eine Nullabbildung sein muss, wenn die andere Determinante ungleich 0 hat.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
oh... Tippfehler. Gemeint war natürlich beide Determinanten gleich Null. Ungleich 0 hab ich ja oben ausgeschlossen.

Das tut mir jetzt leid :/
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Zitat:
Original von sbh
oh... Tippfehler. Gemeint war natürlich beide gleich Null. Ungleich 0 hab ich ja oben behandelt.


Du meintest also eigentlich "haben beide Determinante gleich 0, dann ist die Behauptung erfüllt". Nur welche Behauptung meinst du? Wenn beide Abbildungen Determinante =0 haben, dann muss noch lange nicht die Nullabbildung sein.

Wir haben den Fall behandelt, dass beide Determinanten ungleich 0 sind (dann kann nicht die Nullabbildung sein), sowie den Fall, dass nur eine der Abbildungen bijektiv ist, woraus du dann gefolgert hat, dass mindestens eine der beiden Determinanten =0 sein muss. Das ist richtig. Es gilt sogar verschärft, dass diese Abbildung Nullabbildung sein muss, entgegen der Voraussetzung.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Wir setzen voraus , und wollen zeigen. Es gibt da ja von vorne herein erst mal die 3 Fälle: beide det =0, nur eine det=0, beide det ungleich 0. Und die kann man nun nacheinander abarbeiten.

Ok, der Fall 2 und 3 lassen sich beide mit dem gleichen Argument zeigen fällt mir grad auf.
Ich denke mal wir beide haben die gleiche Idee hier ^^
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Zitat:
Original von sbh
Wir setzen voraus , und wollen zeigen.


Unter der wichtigen zusätzlichen Voraussetzung, das keine der beiden Abbildungen eine Nullabbildung ist. Nur deswegen scheidet aus, dass eine der Abbildungen bijektiv sein kann, also Determinante ungleich 0 hat. Also müssen beide Abbildungen Determinante =0 haben.
sbh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten, Nullfunktion
Mir is das klar. Nur ich weis ja nicht was ich als Vorwissen voraussetzen kann. Deswegen erstmal von Hand zu Fuß
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, zumindest darf man voraussetzen, dass bekannt ist. Wenn also , dann folgt . Dass (oder umgekehrt) nicht gelten darf, hast du eigentlich schon gezeigt. Damit bleibt für den Fragesteller nichts mehr zu tun.
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