DGL mit Anfangswertproblem

25.05.2013, 17:00

Iomegan

DGL mit Anfangswertproblem

Moin Leute,

habe mal wieder eine DGL-Aufgabe:

Lösen Sie die DGL:
$\begin{eqnarray*} y'=x-1-2y \ \ \ mit\ y\left( 0 \right)=0 \end{eqnarray*}$

Mein Weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2y=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy+2y=\left( x-1 \right)\cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{2}+y=\frac{1}{2}x^{2}-x+\mbox{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} da \ y\left( 0 \right)=0 \\ C=0 \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} y^{2}+y=\frac{1}{2}x^{2}-x \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung soll aber dies rauskommen:

$\begin{eqnarray*} y\left( x \right)=\frac{3}{4}e^{-2x}+\frac{y}{2}-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler??

Danke und Gruß
Daniel

25.05.2013, 17:33

original

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RE: DGL mit Anfangswertproblem

Zitat:

Original von Iomegan

$\begin{eqnarray*} y'=x-1-2y \ \ \ mit\ y\left( 0 \right)=0 \end{eqnarray*}$

Mein Weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2y=x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy+2y=\left( x-1 \right)\cdot dx \end{eqnarray*}$ Prost

Wo ist mein Fehler??

l

-> wie kommst du (bei Multiplikation mit dx) von -2y zu +2y (<-und ohne *dx?)

Tipp:
du hast eine lineare, inhomogene DGL erster Ordnung gegeben
-> schau unter diesem Stichwort nach, wie man sowas löst
.

25.05.2013, 17:41

Kasen75

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RE: DGL mit Anfangswertproblem

Zitat:

Original von Iomegan

Laut Musterlösung soll aber dies rauskommen:

$\begin{eqnarray*} y\left( x \right)=\frac{3}{4}e^{-2x}+\frac{y}{2}-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Daniel

Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} y\left( x \right)=\frac{3}{4}e^{-2x}+\frac{\textcolor{red}{x}}{2}-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Bin schon wieder weg.

25.05.2013, 17:45

HAB

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RE: DGL mit Anfangswertproblem
In der Musterlösung solltest du auf der rechten Seite noch dasy durch x ersetzen (Schreibfehler?).

Oh, Kasen war schneller.

25.05.2013, 20:15

Iomegan

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Tut mir leid. Musterlösung ist tatsächlich mit x, statt y.

Das mit -2y in der ersten Reihe ist ein Tippfehler und soll natürlich +2y heißen.

Ich habe gemerkt, dass ich mir bevor ich hier weiter mache noch mal genauer anschauen muss wann eine DGL erst mal linear und wann nicht linear ist und wann homogen / inhomogen. Bei manchen Funktionen sehe ich das noch nicht richtig.

Danke.

26.05.2013, 09:36

original

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Zitat:

Original von Iomegan

Das mit -2y in der ersten Reihe ist ein Tippfehler und soll natürlich +2y heißen. geschockt

-> das falsche Vorzeichen ist doch das kleinere Problem

das Unglaubliche ist, dass du nicht verstanden hast, dass beim Multiplizieren
einer Summe mit dx jeder Summand den Faktor dx verdient,
also auch das 2y ...

na ja , schau mal oben: wir sind hier in der Hochschulmathematik ... Willkommen

27.05.2013, 00:06

Iomegan

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Zitat:

Original von original
das Unglaubliche ist, dass du nicht verstanden hast, dass beim Multiplizieren
einer Summe mit dx jeder Summand den Faktor dx verdient,
also auch das 2y ...
.

Ja, da hast du recht. Das war wohl ein schlechter Tag unglücklich

Ich versuche die ganze Aufgabe jetzt noch mal bis zu einem Punkt wo es nicht weiter geht:

Die DGL lautet:

$\begin{eqnarray*} y'=x-1-2y \end{eqnarray*}$

Wie oben schon von original geschrieben handelt es sich um eine lineare, inhomogene DGL erster Ordnung. Ich möchte die DGL durch Variation der Konstanten lösen:

Zunächst löse ich die homogene DGL, also ohne dem Störglied x-1

Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} y'=-2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy=-2y\cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{-2y}=dx \end{eqnarray*}$

Jetzt Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln \left| y \right|}{-2}=x+K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln \left| y \right|=-2\cdot x-2\cdot K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-2\cdot x-2\cdot K} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-2\cdot x}\cdot K \end{eqnarray*}$

So, nun kommt die "Variation der Konstanten"

$\begin{eqnarray*} K = K(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-2\cdot x}K\left( x \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=-\frac{1}{2}e^{-2\cdot x}K\left( x \right)+e^{-2x}\cdot K'\left( x \right) \end{eqnarray*}$

y und y' setze ich jetzt in die DGL ein:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}e^{-2\cdot x}K\left( x \right)+e^{-2x}\cdot K'\left( x \right)+2e^{-2x}\cdot K\left( x \right)=x-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, dass etwas schief gegangen ist, denn die Summanden mit K(x) müssten sich aufheben. Jedenfalls wurde mir das so gesagt. Ich möchte ja danach nach K'(x) umstellen und wieder integrieren...

Sieht jemand meinen Fehler ?

Danke noch mal!!

Ich hoffe diesmal ist der Fehler nur halb so peinlich Big Laugh

27.05.2013, 09:27

original

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Zitat:

Original von Iomegan

$\begin{eqnarray*} y=e^{-2\cdot x}K\left( x \right) \end{eqnarray*}$

unglücklich

$\begin{eqnarray*} y'=-\frac{1}{2}e^{-2\cdot x}K\left( x \right)+e^{-2x}\cdot K'\left( x \right) \end{eqnarray*}$
..
..

Jetzt weiß ich, dass etwas schief gegangen ist, Freude

Sieht jemand meinen Fehler ?

diesmal .. der Fehler -> nur halb .
.

die Ableitung von e^(-2x) ist NICHT -> - ein halb mal e^(-2x)

sondern ? -> smile

27.05.2013, 12:13

Iomegan

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$\begin{eqnarray*} -2*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Oh man, ich habe integriert und nicht abgeleitet. traurig

Mathe ist nichts für mich, naja muss ich durch...

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