Beweis: Vollständigkeit eines metrischen Raumes

25.05.2013, 18:32

Toasten47

Beweis: Vollständigkeit eines metrischen Raumes

Liebes Forum,

ich soll zeigen, dass der metrische Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},d) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(x,y):=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \end{eqnarray*}$ vollständig ist.

Als Hinweis habe ich gegeben: $\begin{eqnarray*} f : [0,1)\to \mathbb{R}, f(t):=\frac{t}{1-t} \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend und es gilt: $\begin{eqnarray*} |x-y|=f(d(x,y)) \end{eqnarray*}$ .

Ich komme hier seit Stunden überhaupt nicht weiter. Der Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in diesem Raum konvergiert und der Grenzwert wieder in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt.

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k_\epsilon \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\ge k_\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} d(x_m,x_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ ...

Und nun? Ich komme hier einfach nicht weiter und weiß auch nicht, wie mir der Hinweis nutzen könnte ... verwirrt

25.05.2013, 19:49

Toasten47

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RE: Beweis: Vollständigkeit eines metrischen Raumes
Hat niemand eine Idee?! Wink

25.05.2013, 20:12

Nofeykx

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Wende $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doch mal auf die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} d(x_m,x_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$

an. Bringt dich das auf eine Idee?

25.05.2013, 21:48

Toasten47

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Zitat:

Original von NofeykxBringt dich das auf eine Idee?

Leider nein, ich habe damit schon einige Zeit experimentiert. Müsste ich nicht $\begin{eqnarray*} d(x_m,x_n) \end{eqnarray*}$ so abschätzen, dass ich auf einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} d(x_n,x) \end{eqnarray*}$ komme, der kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist?

Ich komme hier einfach nicht weiter. Könntest du mir weiterhelfen?

25.05.2013, 21:55

Nofeykx

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Ich würde eher den Umweg über die Standardmetrik gehen.
Dafür müsstest du zeigen
Xn Cauchyfolge bzgl. d => Xn Cauchyfolge bzgl. Standardmetrik => Xn konvergent bzgl. Standardmetrik => Xn konvergent bzgl. d.

Beim Übergang von d zur Standardmetrik und zurück hilft dir f. Du brauchst dafür aber noch ein paar Zusatzüberlegungen.

25.05.2013, 23:24

Toasten47

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Zitat:

Original von NofeykxBeim Übergang von d zur Standardmetrik und zurück hilft dir f. Du brauchst dafür aber noch ein paar Zusatzüberlegungen.

Ich komm absolut nicht drauf, könntest du mich aufklären? Ich sitze schon zu lange an dieser Aufgabe und verstehe nicht, wie mir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dabei helfen kann ...

25.05.2013, 23:36

Nofeykx

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Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\epsilon}{1+\epsilon} > 0 \end{eqnarray*}$

Dann findest du $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , s.d f.a $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$
folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} d(x_m, x_n) < \delta \end{eqnarray*}$

Auf diese Ungleichung kannst du jetzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwenden und kommst auf diesem Weg von d zur Standardmetrik. Zurück kommst du ganz ähnlich, das kannst du dir anhand dieses Beispiels mal überlegen.

26.05.2013, 15:07

Toasten47

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Ich danke dir. Ich konnte die Aufgabe dank deiner Hilfe lösen Augenzwinkern

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