Abgeschlossenheit und Offenheit von Folgen

25.05.2013, 19:13

Amplitude

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Abgeschlossenheit und Offenheit von Folgen

Ich habe sechs spezielle Fragen und Antworten bezogen zum Standardmetrischen Raum und möchte nur wissen ob meine Antwort und Begründung stimmt. Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege. smile

smile

1) Ist eine Folge, die konvergiert abgeschlossen oder offen wie z.b. 1/n ?
Ich behaupte, dass sie weder abgeschlossen ist noch offen. Sie kann nicht offen sein, da am 1. Folgeglied keine Umgebung zu finden ist, da es sich um einen Randpunkt handelt. Außerdem wird der Grenzwert nie erreicht. Er läuft nur gegen den Grenzwert.
Abgeschlossen kann sie auch nicht sein, denn sie ist nur abgeschlossen wenn die Obermenge ohne der abgeschlossenen Menge offen ist. Das ist nicht der Fall.

Es handelt sich also um ein Intervall der Form [x,y). Und diese Intervalle sind weder abgeschlossen noch offen!

2) Ist eine Folge die konvergiert vereinigt mit ihrem Grenzwert abgeschlossen oder offen? Sie ist abgeschlossen, da die Obermenge ohne der betrachteten Teilmenge (Hier die Folge) offen ist.

3) Ist eine Folge die divigiert abgeschlossen oder offen? Sie ist weder abgeschlossen noch offen. Siehe Nr.1 für Begründung.

4) Ist eine Folge, die konvergiert beschränkt wie z.b. 1/n ? Ja, den es gilt: Jede konvergente Folge ist beschränkt. Somit hat sie die gesuchte Ober-/und Unterschranke.

5) Ist eine Folge die konvergiert vereinigt mit ihrem Grenzwert beschränkt? Ja.

6 Ist eine Folge die divigiert beschränkt? Nein, denn sie wächst/fällt unbeschränkt.

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könnt, damit ich sehen kann ob ich schoneinmal das bisschen Verständnis mitbringe.

25.05.2013, 19:24

Che Netzer

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RE: Abgeschlossenheit und Offenheit von Folgen
Hast du diesen Beitrag noch gesehen?

Da ich annehme, dass ihr Folgen als Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert habt, kann man auch nicht von der Abgeschlossenheit von einer Folge, sondern höchstens von der Menge ihrer Folgenglieder sprechen.

Diese Menge ist in der Standardtopologie übrigens niemals offen (das gilt für alle abzählbaren Mengen – überleg dir, wieso).

Zitat:

Original von Amplitude
1) Ist eine Folge, die konvergiert abgeschlossen oder offen wie z.b. 1/n ?

Siehe Link: Genau dann, wenn der Grenzwert ein Folgenglied ist.

Zitat:

Es handelt sich also um ein Intervall der Form [x,y). Und diese Intervalle sind weder abgeschlossen noch offen!

:erstaunt:

Zitat:

2) Ist eine Folge die konvergiert vereinigt mit ihrem Grenzwert abgeschlossen oder offen? Sie ist abgeschlossen, da die Obermenge ohne der betrachteten Teilmenge (Hier die Folge) offen ist.

Stimmt zwar, aber die Argumentation ist unschlüssig.

Zitat:

3) Ist eine Folge die divigiert abgeschlossen oder offen? Sie ist weder abgeschlossen noch offen. Siehe Nr.1 für Begründung.

Siehe Link.

Zitat:

4) Ist eine Folge, die konvergiert beschränkt wie z.b. 1/n ? Ja, den es gilt: Jede konvergente Folge ist beschränkt. Somit hat sie die gesuchte Ober-/und Unterschranke.

Die Beschränktheit konvergenter Folgen mit der Beschränktheit konvergenter Folgen zu begründen, ist zwar zu hinterfragen, aber das stimmt bekanntlich.

Zitat:

5) Ist eine Folge die konvergiert vereinigt mit ihrem Grenzwert beschränkt? Ja.

Ja, Vereinigungen mit endlich vielen Punkten ändern nichts an der Beschränktheit.

Zitat:

6 Ist eine Folge die divigiert beschränkt? Nein, denn sie wächst/fällt unbeschränkt.

Das muss sie nicht. Divergente Folgen können durchaus beschränkt sein.

25.05.2013, 20:21

Amplitude

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Das meiste sscheint ,,ok" zu sein, deshalb geht es mir jetzt speziell um 2 Sachen.

1) Zur beschränktheit von divergenten Folgen. Ja, ich gebe dir recht. Auch divergente Folgen können beschränkt sein wie z.b. viele alternierende Folgen die beschränkt sind (Hatte ich vollkommen vergessen).

2) Hallo, du sagst eine Menge sei abgeschlossen, wenn sie all ihre Häufungspunkte enthält - Was heißt das? Ein Häufungspunkt ist, so habe ich es verstanden, der Grenzwert einer Teilfolge einer Folge. Was hat das mit normalen Mengen zu tun wie z.b. einem abgeschlossenem Intervall? Was sind dort die Häufungswerte ?

25.05.2013, 20:44

Che Netzer

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Ein Häufungspunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt, so dass in jeder offenen Umgebung dieses Punktes mindestens ein von diesem verschiedener Punkt aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt.

Für Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Standardtopologie sind Häufungspunkte gerade diejenigen Zahlen, die Grenzwert einer Folge in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind, deren Glieder sich nicht bzw. nur endlich oft wiederholen.

25.05.2013, 21:01

Amplitude

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ein Häufungspunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt, so dass in jeder offenen Umgebung dieses Punktes mindestens ein von diesem verschiedener Punkt aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt.

Für Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Standardtopologie sind Häufungspunkte gerade diejenigen Zahlen, die Grenzwert einer Folge in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind, deren Glieder sich nicht bzw. nur endlich oft wiederholen.

Das klingt ziemlich abstrakt finde ich. Ich hab es leider nur bis zu folgendem Punkt verstanden:

Ein Häufungspunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt, so dass in jeder offenen Umgebung dieses Punktes mindestens ein......

Gibt es eventuell eine skizierte Veranschaulichung (sorry^^). Zum Beispiel habe ich immer noch nicht verstanden, weshalb den eine konvergente Folge abgeschlossen ist. Ist sie abgeschlossen, weil die Menge dieser konvergenten Folge abgeschlossen ist ? Das würde ich verstehen Big Laugh

Big Laugh

.

25.05.2013, 21:05

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Gibt es eventuell eine skizierte Veranschaulichung (sorry^^).

Du kannst das mit den Häufungspunkten von Mengen einfach vergessen.
Kennst du die Charakterisierung von Abgeschlossenheit durch Folgenkonvergenz?

Zitat:

Zum Beispiel habe ich immer noch nicht verstanden, weshalb den eine konvergente Folge abgeschlossen ist.

Nochmal:
Eine Folge ist nicht abgeschlossen!
Die Menge ihrer Folgenglieder kann abgeschlossen sein. Muss sie aber nicht, auch wenn die Folge konvergiert?

Zitat:

Ist sie abgeschlossen, weil die Menge dieser konvergenten Folge abgeschlossen ist ? Das würde ich verstehen Big Laugh

Big Laugh

.

Ich dachte, dir geht es um die Standardtopologie. Wie willst du da eine Menge von Folgen auf Abgeschlossenheit untersuchen?

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25.05.2013, 21:21

Amplitude

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Ich muss zugeben, dass wir bisher gar keine Folgen betrachtet haben, sondern nur eine konvergente Folge vereinigt mit ihrem Grenzwert. Ich hinterfrage alles sehr blöd, dass es manchmal sehr verwirrend wird für mich mit meinem bisher wenigen Vorkentnissen alles verstehen zu können. Deshalb reicht es glaube ich erst einmal, dass eine Folge nicht abgeschlossen ist, zu wissen. Offen kann die Menge der Folge auch nicht sein oder? Da ja am Randpunkt keine Umgebung zu finden ist (Am 1. Folgeglied).

Trotzdem würde mich noch einmal der Punkt bezüglich der abgeschlossenheit von Mengen interessieren. Eine Menge ist abgeschlossen wenn sie all ihre Häufungspunkte enthält. Ich habe im Internet gelesen, dass sie abgeschlossen ist, wenn sie ohne der betrachteten Teilmenge offen ist. Das habe ich sehr schnell verstanden. Ich möchte jedoch gerne die abgeschlossenheit bzgl. der Häufungspunkte verstehen, da unser Prof. dieselbe Definition verwendet hat. Deshalb noch einmal hierzu:

Wir betrachten, dass abgeschlossene Intervall [1,5]. Dieses ist abgeschlossen. Was sind hier jetzt die Häufungswerte bzw. wie kann ich mithilfe der Definition leicht verstehen, weshalb dieses Intervall abgeschlossen ist?

25.05.2013, 21:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Deshalb reicht es glaube ich erst einmal, dass eine Folge nicht abgeschlossen ist, zu wissen.

Beachte dabei, dass insbesondere der Begriff Abgeschlossenheit für Folgen gar nicht definiert ist!

Zitat:

Offen kann die Menge der Folge auch nicht sein oder? Da ja am Randpunkt keine Umgebung zu finden ist (Am 1. Folgeglied).

Was heißt "am Randpunkt"?
Außerdem besitzt jeder Punkt eine Umgebung. Nur muss die nicht in der Menge der Folgenglieder enthalten sein.

Zitat:

Ich möchte jedoch gerne die abgeschlossenheit bzgl. der Häufungspunkte verstehen, da unser Prof. dieselbe Definition verwendet hat.

Ist dir denn jetzt klar, was ein Häufungspunkt ist?

Zitat:

Wir betrachten, dass abgeschlossene Intervall [1,5]. Dieses ist abgeschlossen. Was sind hier jetzt die Häufungswerte bzw. wie kann ich mithilfe der Definition leicht verstehen, weshalb dieses Intervall abgeschlossen ist?

Von Häufungswerten spricht man eigentlich nur bei Folgen; für Mengen sind das Häufungspunkte.
Und von $\begin{eqnarray*} [1,5] \end{eqnarray*}$ sind das gerade alle Punkte in $\begin{eqnarray*} [1,5] \end{eqnarray*}$ , denn zu jedem anderen Punkt gibt es eine Umgebung, in der kein weiterer Punkt der Menge liegt.

25.05.2013, 22:02

Amplitude

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Mit Randpunkt meine ich z.b. beim ersten Folgeglied von 1/n .... die 1. Dort ist keine Umgebung vorhanden an diesem Punkt, deshalb kann sie auch nicht offen sein.

So, jetzt bitte Schritt für Schritt. Bei Wikipedia steht folgendes:

"In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. Ein Häufungspunkt einer Folge (seltener: „Verdichtungspunkt“ oder „Häufungswert“) ist ein Punkt, der Grenzwert einer Teilfolge ist."

Ich habe nun auch die Definition bzgl. der allgemeinen Definition verstanden. Warum ist aber nicht die offene Menge (1,5) abgeschlossen? Mithilfe der Definition, dass sie abgeschlossen ist wenn die Obermenge ohne der vorgegebenen Teilmenge offen ist versteh ich das hier ohne Probleme. Aber mithilfe der Häufungspunkte versteh ich es nicht.

25.05.2013, 22:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Mit Randpunkt meine ich z.b. beim ersten Folgeglied von 1/n .... die 1.

Du definierst dir den Randpunkt als erstes Folgenglied?

Zitat:

Dort ist keine Umgebung vorhanden an diesem Punkt, deshalb kann sie auch nicht offen sein.

Was soll das heißen, es sei keine Umgebung "vorhanden"?
Wie würdest du das mathematisch präzise formulieren?

Zitat:

In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat.

Das ist aber auch nur in der Standardtopologie (und ähnlichen einfachen Topologien) eine gute Anschauung.

Zitat:

Ein Häufungspunkt einer Folge (seltener: „Verdichtungspunkt“ oder „Häufungswert“) ist ein Punkt, der Grenzwert einer Teilfolge ist."

Wenn außerdem noch von Häufungspunkten einer Menge die Rede ist, bevorzuge ich ganz klar "Häufungswert".

Zitat:

Warum ist aber nicht die offene Menge (1,5) abgeschlossen?

Hier sind Eins und Fünf Häufungspunkte, die nicht in der Menge enthalten sind.

25.05.2013, 22:27

Amplitude

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Mit der Umgebung meine ich das es keine Offene Kugel mit epsilon Umgebung in jedem Punkt der betrachteten Teilmenge gibt. Es handelt sich um ein offenes Intervall am Punkt x element Teilmenge. Wenn ich mir nun z.b. die Menge der Folge 1/n anschaue fällt auf das ich so eine Umgebung nicht am Punkt 1 finden kann. Bzw. gilt für die Folge 1/n:

$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(1)=]-\epsilon,\epsilon[ \notin 1/n \end{eqnarray*}$

Und da ich somit nicht solch eine Umgebung an jedem Punkt der betrachteten Menge finde, kann sie nicht offen sein.

Bin mir aber etwas unsicher.^^

Also auf den ersten Blick denke ich mir immer so ich hab es jetzt verstanden mit den Häufungspunkten und der abgeschlossenheit, aber auf dem zweiten Blick ist man sich wieder unsicher.

25.05.2013, 22:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Mit der Umgebung meine ich das es keine Offene Kugel mit epsilon Umgebung in jedem Punkt der betrachteten Teilmenge gibt.

Das ergibt keinen Sinn.
Das kannst du höchstens mit einer vollständigen Aussage, nicht mit "der Umgebung" meinen.
Und was ist eine offene Kugel "mit epsilon Umgebung"?
Und was soll "in" einem Punkt sein?

Zitat:

Es handelt sich um ein offenes Intervall am Punkt x element Teilmenge.

Was ist ein offenes Intervall?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(1)=]-\epsilon,\epsilon[ \notin 1/n \end{eqnarray*}$

Das ergibt wieder keinen Sinn. Die Gleichheit ist schlicht falsch, außerdem kann eine Menge kein Element einer Zahl sein.

Gewöhne dir unbedingt (!!) eine präzisere Ausdrucksweise an, wenn du dich weiterhin mit Mathematik beschäftigen möchtest.
Benutze die mathematische Fachsprache und keine selbst erdachten Formulierungen.

25.05.2013, 22:52

Amplitude

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Ja ich gebe dir recht das ich mir unbedingt eine präzise Ausdrucksweise angewöhnen muss.

Das Offene Intervall ist definiert durch $\begin{eqnarray*} (a,b):=\left\{ x\in \mathbb R | a<x<b\right\} \end{eqnarray*}$
Wie würdest du den es formal sagen, dass z.b. die abgeschlossene Menge [1,2] nicht offen ist mithilfe der Definition der Umgebung (Und diese wird ja bekanntlich hergeleitet durch die Definition der Offenen Kugel wenn ich es richtig verstanden habe?

25.05.2013, 22:59

Che Netzer

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Zu $\begin{eqnarray*} 1\in[1,2] \end{eqnarray*}$ gibt es keine offene Kugel $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , welche vollständig in $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ enthalten ist, da z.B. für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\frac\varepsilon2\in U_\varepsilon(1)\,, \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} 1-\frac\varepsilon2\notin[1,2]\,. \end{eqnarray*}$

25.05.2013, 23:11

Amplitude

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Hey, vielen dank. Das hilft mir erst einmal weiter.

Ich sehe gerade das in unserem Skript folgendes steht zur Offenheit:

Eine Teilmenge ist Offen: Jeder Punkt der Teilmenge ist ein Innerer Punkt

Zwar haben wir die Offene Kugel auch definiert aber mich verwirrt es schon das es da nicht angesprochen wird.Der Innere Punkt ist doch nur ein offenes Intervall in einem Punkt oder? Und das Innere wäre demnach das größte offene Intervall der betrachteten Teilmenge.

25.05.2013, 23:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Zwar haben wir die Offene Kugel auch definiert aber mich verwirrt es schon das es da nicht angesprochen wird.

Wo wird was nicht angesprochen? Offene Kugeln in der zitierten Äquivalenz? Wozu auch?

Zitat:

Der Innere Punkt ist doch nur ein offenes Intervall in einem Punkt oder?

Ein innerer Punkt ist kein offenes Intervall.
Und ein Intervall kann nicht "in einem Punkt" sein.

Zitat:

Und das Innere wäre demnach das größte offene Intervall der betrachteten Teilmenge.

Das Innere muss kein Intervall sein, betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} [1,2)\cup(3,4] \end{eqnarray*}$ .

26.05.2013, 12:10

Amplitude

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Vielen dank, ich denke das ich nun ein allgemeines Verständnis dafür besitze. Wenn ich jedoch Fragen habe dann stell ich sie hier.^^

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