Funktion komplex d'bar

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HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion komplex d'bar
Hallo,

sitze grad an folgender Aufgabe:

f(z)=
für
0 für z=0

Ich soll prüfen, ob in z=0 die CR-Dgl'n erfüllt sind und f(z) komplex differenzierbar ist.

Als Hinweis: Setzen sie f=u+iv und stellen Sie u bzw. v mittels f und (f konjugiert) dar.

Meine Idee: f=u+iv= dann ist u der Realteil von f(z) und v der Imaginärteil von f(z).
Zum Hinweis, da bin ich mir aber nicht sicher, ob das so Sinn macht: u=1/2*(f+(f konjugiert)) und v=1/2*(f-(f konjugiert)).

Passt dieser Ansatz so, oder hab ich das Ganze falsch verstanden?

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Bisher stimmt fast alles.
Deine Formel für den Imaginärteil ist aber noch fehlerhaft. Beachte, dass reell sein soll.
 
 
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Zitat:
Original von Che Netzer
Bisher stimmt fast alles.
Deine Formel für den Imaginärteil ist aber noch fehlerhaft. Beachte, dass reell sein soll.


v=1/2i*(f-(f konjugiert))

Damit müsste es wieder reell sein, richtig?

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ja, jetzt stimmt es.
Und etwas hübscher:
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Alles klar, dann habe ich für





für erhalte ich

für den Zähler muss ich mir wohl noch was einfallen lassen, ich glaube nicht, dass hier z^5 ausmultipliziert werden soll..

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ich hätte gleich mit angefangen.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Also so:



Ja?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ja. Jetzt kannst du mit der Kettenregel ableiten.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ok, da komm ich grad nicht mit, ich soll also

bilden und benötige dafür die Kettenregel?

Also
und ab hier hätte ich jetzt die Quotientenregel verwendet, ich seh leider grade nicht, wo ich die Kettenregel anwenden soll.

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Du sollst doch aber nach und ableiten Augenzwinkern
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ah, also ab hier auf z=x+iy umsteigen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ja.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Also bilde ich


und sehe, dass die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist, damit wäre komplexe d'barkeit gegessen, aber die CR-Dgl'n muss ich trotzdem überprüfen, richtig? Obwohl, die kann ich doch bei Unstetigkeit im Nullpunkt garnicht prüfen..

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Du brauchst aber auch nur die partiellen Ableitungen im Nullpunkt zu bilden.
(die Kettenregel war da vielleicht doch etwas übertrieben, Potenzgesetze und -regel genügen ja schon)
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Also das hier:
sowie

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Ja, das sind und im Nullpunkt.
kurzeFrage1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Zitat:
Original von HammerTobi
Also bilde ich


und sehe, dass die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist, damit wäre komplexe d'barkeit gegessen, aber die CR-Dgl'n muss ich trotzdem überprüfen, richtig? Obwohl, die kann ich doch bei Unstetigkeit im Nullpunkt garnicht prüfen..

Lg Tobi


Wie siehst Du da, dass die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist?
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Also für erhalte ich 1 und
erhalte ich 0, somit sind die partiellen Ableitungen unstetig, korrekt?



Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Wieso folgerst du aus diesen Werten die Unstetigkeit? verwirrt
Jetzt musst du jedenfalls noch und bestimmen.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion komplex d'bar
Zitat:
Original von Che Netzer
Wieso folgerst du aus diesen Werten die Unstetigkeit? verwirrt


Hammer Das frag ich mich auch gerade, das ist natürlich quatsch, danke für den Hinweis.
kurzeFrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich richtig erinnere, muss für die komplexe Differenzierbarkeit doch gezeigt werden:

1.) reelle totale Differenzierbarkeit

2.) Die CR-DGL sind erfüllt.


Hier soll man doch untersuchen:

a) Gelten die CR-DGL im Punkt 0

b) Ist die Funktion komplex differenzierbar (gemeint ist wohl: auf ganz C).

Für a) musst du also erstmal die partiellen Ableitungen hinschreiben und dann einsetzen gemäß der CR-DGL.

Für b) musst Du 1.) und 2.) prüfen. Wobei es ja schon ausreichen würde entweder zu zeigen, dass entweder bei a) die CR-DGL nicht gelten oder aber ein Punkt gefunden wird, in dem keine totale reelle Diffbarkeit gegeben ist, etwa indem man zeigt, dass in einem Punkt die partiellen Ableitungen nicht stetig sind. Mit Deiner Argumentation zeigst Du aber nicht, dass eine der beiden partiellen Ableitungen unstetig wäre.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

So, erstmal weiter:

für habe ich 0 und für habe ich 1 rausbekommen, somit sind die CR-DGL'n erfüllt, da

= 1 = sowie
= 0 = gilt.

Jetzt müsste ich noch zeigen, dass f(z) in z=0 komplex d'bar ist (oder nicht), also wie schon gesagt zusätzlich die partiellen Ableitungen im Nullpunkt (un-)stetig sind, könnte ich aber nicht auch über den Differenzenquotienten gehen und komplexe D'barkeit zeigen/widerlegen?

Lg Tobi
kurzefrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest Du vielleicht mal zeigen, wie Du z.B.

und bestimmt hast?


---

Gefragt ist doch nach der komplexen Diffbarkeit auf ganz C, oder?

Also musst Du entweder zeigen, daß die Funktion überall reell total diffbar ist oder eben einen Punkt finden, wo das nicht gilt.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kurzefrage1
Gefragt ist doch nach der komplexen Diffbarkeit auf ganz C, oder?

Nein, nur für z=0

Die partiellen Ableitungen habe ich so, wie oben beschrieben berechnet, kurz über deinem ersten Beitrag.

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Um nun auf komplexe Differenzierbarkeit zu untersuchen, kannst du direkt den (komplexen) Differntialquotienten untersuchen.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür habe ich:



Nun setze ich für ein und erhalte . Damit ist f(z) nicht komplex d'bar.

Lg Tobi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Passt.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke Wink
kurzefrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich entschuldige mich mal für mein Einmischen.

Ich dachte, da hier schon von CR-DGL die Rede ist, wäre es vielleicht angebracht zu zeigen, dass die Funktion in z=0 reell total diff'bar ist.

Denn gemeinsam mit der Gültigkeit der CR-DGL in z=0 würde dann doch auch die komplexe Diffbarkeit in z=0 folgen?


By the way: Ist wirklich ?
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich dachte, da hier schon von CR-DGL die Rede ist, wäre es vielleicht angebracht zu zeigen, dass die Funktion in z=0 reell total diff'bar ist.


Welche Funktion meinst du? Für die komplexe D'barkeit müssen u und v total differenzierbar sein.

Da aber die CR-DGL'n in z=0 gelten, die Funktion f(z) aber nicht komplex d'bar ist, muss wohl die totale Differenzierbarkeit der u und/oder v in z=0 verletzt sein.

Ja,

Lg Tobi
kurzeFrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt verwirrt. Big Laugh

Jemand anders kann es sicher besser erklären.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben gezeigt, dass im Nullpunkt die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt.
Wäre dort auch reell differenzierbar, so müsste auch komplex differenzierbar sein.
Jedoch haben wir schon gezeigt, dass in der Null nicht komplex differenzierbar ist.

Also kannst du die reelle Differenzierbarkeit von im Nullpunkt sicher nicht zeigen.
kurzeFrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber was ich sagen wollte, ist ja nur Folgendes:

Ihr habt direkt über die Definition von komplexer Diffbarkeit gezeigt, dass die Funktion in z=0 nicht komplex diffbar ist.


Meine Idee war es halt zu untersuchen, ob die CR-DGL gelten in z=0 (das tun sie) und dann zu untersuchen, ob die Funktion f in z=0 reell total diffbar ist.


Wie kann man zeigen, dass sie das nicht ist, wenn man jetzt mal nicht davon ausgeht, dass man schon gezeigt hat, dass sie komplex nicht in z=0 diffbar ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kurzeFrage1
und dann zu untersuchen, ob die Funktion f in z=0 reell total diffbar ist.

Das wäre keine schöne Rechnung.
kurzefrage1 Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann belasse ich es jetzt mal dabei.

Nochmal sorry, dass ich den Thread so kompliziert gemacht habe.
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