Funktion komplex d'bar |
25.05.2013, 22:23 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Funktion komplex d'bar sitze grad an folgender Aufgabe: f(z)= für 0 für z=0 Ich soll prüfen, ob in z=0 die CR-Dgl'n erfüllt sind und f(z) komplex differenzierbar ist. Als Hinweis: Setzen sie f=u+iv und stellen Sie u bzw. v mittels f und (f konjugiert) dar. Meine Idee: f=u+iv= dann ist u der Realteil von f(z) und v der Imaginärteil von f(z). Zum Hinweis, da bin ich mir aber nicht sicher, ob das so Sinn macht: u=1/2*(f+(f konjugiert)) und v=1/2*(f-(f konjugiert)). Passt dieser Ansatz so, oder hab ich das Ganze falsch verstanden? Lg Tobi |
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26.05.2013, 12:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Bisher stimmt fast alles. Deine Formel für den Imaginärteil ist aber noch fehlerhaft. Beachte, dass reell sein soll. |
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26.05.2013, 12:19 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar
v=1/2i*(f-(f konjugiert)) Damit müsste es wieder reell sein, richtig? Lg Tobi |
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26.05.2013, 12:21 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ja, jetzt stimmt es. Und etwas hübscher: |
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26.05.2013, 12:46 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Alles klar, dann habe ich für für erhalte ich für den Zähler muss ich mir wohl noch was einfallen lassen, ich glaube nicht, dass hier z^5 ausmultipliziert werden soll.. Lg Tobi |
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26.05.2013, 13:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ich hätte gleich mit angefangen. |
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26.05.2013, 13:21 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Also so: Ja? |
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26.05.2013, 13:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ja. Jetzt kannst du mit der Kettenregel ableiten. |
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26.05.2013, 13:49 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ok, da komm ich grad nicht mit, ich soll also bilden und benötige dafür die Kettenregel? Also und ab hier hätte ich jetzt die Quotientenregel verwendet, ich seh leider grade nicht, wo ich die Kettenregel anwenden soll. Lg Tobi |
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26.05.2013, 13:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Du sollst doch aber nach und ableiten |
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26.05.2013, 13:59 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ah, also ab hier auf z=x+iy umsteigen? |
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26.05.2013, 14:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ja. |
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26.05.2013, 14:28 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Also bilde ich und sehe, dass die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist, damit wäre komplexe d'barkeit gegessen, aber die CR-Dgl'n muss ich trotzdem überprüfen, richtig? Obwohl, die kann ich doch bei Unstetigkeit im Nullpunkt garnicht prüfen.. Lg Tobi |
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26.05.2013, 14:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Du brauchst aber auch nur die partiellen Ableitungen im Nullpunkt zu bilden. (die Kettenregel war da vielleicht doch etwas übertrieben, Potenzgesetze und -regel genügen ja schon) |
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26.05.2013, 14:52 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Also das hier: sowie |
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26.05.2013, 14:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Ja, das sind und im Nullpunkt. |
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26.05.2013, 14:59 | kurzeFrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar
Wie siehst Du da, dass die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist? |
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26.05.2013, 15:05 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Also für erhalte ich 1 und erhalte ich 0, somit sind die partiellen Ableitungen unstetig, korrekt? Lg Tobi |
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26.05.2013, 15:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar Wieso folgerst du aus diesen Werten die Unstetigkeit? Jetzt musst du jedenfalls noch und bestimmen. |
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26.05.2013, 15:09 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion komplex d'bar
Das frag ich mich auch gerade, das ist natürlich quatsch, danke für den Hinweis. |
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26.05.2013, 15:13 | kurzeFrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich mich richtig erinnere, muss für die komplexe Differenzierbarkeit doch gezeigt werden: 1.) reelle totale Differenzierbarkeit 2.) Die CR-DGL sind erfüllt. Hier soll man doch untersuchen: a) Gelten die CR-DGL im Punkt 0 b) Ist die Funktion komplex differenzierbar (gemeint ist wohl: auf ganz C). Für a) musst du also erstmal die partiellen Ableitungen hinschreiben und dann einsetzen gemäß der CR-DGL. Für b) musst Du 1.) und 2.) prüfen. Wobei es ja schon ausreichen würde entweder zu zeigen, dass entweder bei a) die CR-DGL nicht gelten oder aber ein Punkt gefunden wird, in dem keine totale reelle Diffbarkeit gegeben ist, etwa indem man zeigt, dass in einem Punkt die partiellen Ableitungen nicht stetig sind. Mit Deiner Argumentation zeigst Du aber nicht, dass eine der beiden partiellen Ableitungen unstetig wäre. |
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26.05.2013, 15:55 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, erstmal weiter: für habe ich 0 und für habe ich 1 rausbekommen, somit sind die CR-DGL'n erfüllt, da = 1 = sowie = 0 = gilt. Jetzt müsste ich noch zeigen, dass f(z) in z=0 komplex d'bar ist (oder nicht), also wie schon gesagt zusätzlich die partiellen Ableitungen im Nullpunkt (un-)stetig sind, könnte ich aber nicht auch über den Differenzenquotienten gehen und komplexe D'barkeit zeigen/widerlegen? Lg Tobi |
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26.05.2013, 15:59 | kurzefrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest Du vielleicht mal zeigen, wie Du z.B. und bestimmt hast? --- Gefragt ist doch nach der komplexen Diffbarkeit auf ganz C, oder? Also musst Du entweder zeigen, daß die Funktion überall reell total diffbar ist oder eben einen Punkt finden, wo das nicht gilt. |
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26.05.2013, 16:01 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, nur für z=0 Die partiellen Ableitungen habe ich so, wie oben beschrieben berechnet, kurz über deinem ersten Beitrag. Lg Tobi |
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26.05.2013, 16:10 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um nun auf komplexe Differenzierbarkeit zu untersuchen, kannst du direkt den (komplexen) Differntialquotienten untersuchen. |
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26.05.2013, 16:22 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dafür habe ich: Nun setze ich für ein und erhalte . Damit ist f(z) nicht komplex d'bar. Lg Tobi |
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26.05.2013, 16:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Passt. |
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26.05.2013, 16:28 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, danke |
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26.05.2013, 16:29 | kurzefrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich entschuldige mich mal für mein Einmischen. Ich dachte, da hier schon von CR-DGL die Rede ist, wäre es vielleicht angebracht zu zeigen, dass die Funktion in z=0 reell total diff'bar ist. Denn gemeinsam mit der Gültigkeit der CR-DGL in z=0 würde dann doch auch die komplexe Diffbarkeit in z=0 folgen? By the way: Ist wirklich ? |
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26.05.2013, 16:39 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Funktion meinst du? Für die komplexe D'barkeit müssen u und v total differenzierbar sein. Da aber die CR-DGL'n in z=0 gelten, die Funktion f(z) aber nicht komplex d'bar ist, muss wohl die totale Differenzierbarkeit der u und/oder v in z=0 verletzt sein. Ja, Lg Tobi |
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26.05.2013, 17:15 | kurzeFrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin jetzt verwirrt. Jemand anders kann es sicher besser erklären. |
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26.05.2013, 17:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben gezeigt, dass im Nullpunkt die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt. Wäre dort auch reell differenzierbar, so müsste auch komplex differenzierbar sein. Jedoch haben wir schon gezeigt, dass in der Null nicht komplex differenzierbar ist. Also kannst du die reelle Differenzierbarkeit von im Nullpunkt sicher nicht zeigen. |
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26.05.2013, 17:22 | kurzeFrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber was ich sagen wollte, ist ja nur Folgendes: Ihr habt direkt über die Definition von komplexer Diffbarkeit gezeigt, dass die Funktion in z=0 nicht komplex diffbar ist. Meine Idee war es halt zu untersuchen, ob die CR-DGL gelten in z=0 (das tun sie) und dann zu untersuchen, ob die Funktion f in z=0 reell total diffbar ist. Wie kann man zeigen, dass sie das nicht ist, wenn man jetzt mal nicht davon ausgeht, dass man schon gezeigt hat, dass sie komplex nicht in z=0 diffbar ist? |
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26.05.2013, 17:27 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre keine schöne Rechnung. |
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26.05.2013, 17:36 | kurzefrage1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na gut, dann belasse ich es jetzt mal dabei. Nochmal sorry, dass ich den Thread so kompliziert gemacht habe. |
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