Unendlich viele Primzahlen, welche kongruent zu 1 modulo 4 sind |
25.05.2013, 23:42 | Tesserakt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unendlich viele Primzahlen, welche kongruent zu 1 modulo 4 sind ich möchte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen mit gibt. Dazu nehme ich zunächst an, dass es endlich viele Primzahlen , die der Kongruenz genügen, gibt. Dann sei . Ist prim, so ist die Aussage bewiesen, da offenbar eine neue, nicht in unserer Liste enthaltene, Primzahl mit ist. Ist nicht prim, so besitzt einen (ungeraden) Primfaktor für alle . Nun stehe ich jedoch vor einem Problem. Sicherlich ist dessen Lösung, dass alle ungeraden Primfaktoren einer Zahl der Form kongruent zu 1 modulo 4 sind. Doch wie kann ich das beweisen? Vielen Dank für alle Antworten! |
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26.05.2013, 17:54 | Tesserakt | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bitte nicht mehr antworten; das Problem hat sich gelöst. Sind nämlich , und ganze Zahlen, mit und , so ist jeder Faktor, also auch die Primfaktoren, von darstellbar als die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen. Nach dem fermatschen Zwei Quadrate-Satz sind dies Primzahlen der Form für ein natürliches . |
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