Unendlich viele Primzahlen, welche kongruent zu 1 modulo 4 sind

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Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele Primzahlen, welche kongruent zu 1 modulo 4 sind
Guten Abend,

ich möchte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen mit gibt.
Dazu nehme ich zunächst an, dass es endlich viele Primzahlen , die der Kongruenz genügen, gibt.
Dann sei .

Ist prim, so ist die Aussage bewiesen, da offenbar eine neue, nicht in unserer Liste enthaltene, Primzahl mit ist.

Ist nicht prim, so besitzt einen (ungeraden) Primfaktor für alle .

Nun stehe ich jedoch vor einem Problem. Sicherlich ist dessen Lösung, dass alle ungeraden Primfaktoren einer Zahl der Form kongruent zu 1 modulo 4 sind. Doch wie kann ich das beweisen?

Vielen Dank für alle Antworten!
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht mehr antworten; das Problem hat sich gelöst.
Sind nämlich , und ganze Zahlen, mit und , so ist jeder Faktor, also auch die Primfaktoren, von darstellbar als die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen. Nach dem fermatschen Zwei Quadrate-Satz sind dies Primzahlen der Form für ein natürliches .
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