Nullteilerfreiheit äquivalenz?

26.05.2013, 11:32

steviehawk

Nullteilerfreiheit äquivalenz?

Meine Frage:
Hallo Leute, kurze Frage!

Ein Integritätsring ist doch laut Definition nullteilerfrei. Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} ab = 0 \Rightarrow a = 0 \vee b = 0 \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage ist das denn auch eine äquivalenz? Gilt die Rückrichtung dann auch? Muss doch eigentlich!

Angenommen ist gilt auch die Rückrichtung:

dann kann ich die Aussage auch negieren: $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich also zeigen möchte, das etwas ein Integritätsring ist, kann ich alternativ auch diese Aussage zeigen! Oder??

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

26.05.2013, 11:42

Elvis

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Nein, das geht nicht. Die Aussage $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \wedge b \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt immer.

26.05.2013, 11:53

steviehawk

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mhh, kannst du mir dann vielleicht die Logik hinter der folgenden äquivalenz sagen?

$\begin{eqnarray*} R/I \end{eqnarray*}$ Integritätsring $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \overline a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b \neq \overline 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \overline {ab} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring ist und $\begin{eqnarray*} R/I \end{eqnarray*}$ der Faktorring mit dem Primideal $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 11:58

Mystic

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@steviehawk

Auf den Punkt gebracht, machst du Folgendes: Du zeigst von der zu zeigenden Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \end{eqnarray*}$

nur eine Richtung (nämlich die triviale Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ , die normalerweise nicht einmal erwähnt wird), lässt dafür die andere Richtung "unter den Tisch fallen", obwohl diese die eigentliche Aussage beinhaltet, und meinst damit die Äquivalenz schon bewiesen zu haben...

26.05.2013, 12:09

steviehawk

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Ich zeige eigentlich garnichts..

Ich möchte lediglich verstehen, was ich im Tutorium nachlese! Und da steht genau die Äquivalenz, die ich beschrieben haben im zweiten Post! Ist die nun sogar falsch??

Meine Frage die ich mir stelle ist, ob ich aus:

$\begin{eqnarray*} \overline a \neq \overline 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann auch: $\begin{eqnarray*} \overline{ab} \neq \overline 0 \end{eqnarray*}$ schließen kann, dass R/I ein Integriätsring ist!

26.05.2013, 13:44

Mystic

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Zitat:

Original von steviehawk
Ich möchte lediglich verstehen, was ich im Tutorium nachlese! Und da steht genau die Äquivalenz, die ich beschrieben haben im zweiten Post! Ist die nun sogar falsch??

Es ist richtig, dass ein Ring R genau dann nullteilerfrei ist, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \end{eqnarray*}$

gilt... Da die Richtung " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " aber sowieso in jedem Ring gilt, kann man diese auch gleich weglassen, wenn man will... So wie ich dich verstanden habe, nimmst du diese Richtung erst dazu und läßt die andere (wesentliche!) weg, was nun mal gar nicht geht...

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Frage die ich mir stelle ist, ob ich aus:

$\begin{eqnarray*} \overline a \neq \overline 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann auch: $\begin{eqnarray*} \overline{ab} \neq \overline 0 \end{eqnarray*}$ schließen kann, dass R/I ein Integriätsring ist!

Ja ist korrekt, wenngleich die Kontraposition davon, nämlich

$\begin{eqnarray*} \bar a \bar b =\bar 0 \Rightarrow \bar a = \bar 0 \lor \bar b = \bar 0 \end{eqnarray*}$

in einem konkreten Fall nach meiner Erfahrung oft leichter zu beweisen ist...

26.05.2013, 13:49

steviehawk

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Super vielen Dank für deine Antwort!

Ich war mir nicht mehr sicher, warum ich gestern so überzeugt war, dass folgendes alles stimmt:

R/I Integritätsring genau dann wenn I Primideal ist.

vom letzten Schritt der Hinrichtung war ich heute morgen nicht mehr überzeugt smile

Jetzt wieder smile

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