Fixpunkt

26.05.2013, 13:05	Alexandria	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt Zeigen Sie, dass das Polynom $\begin{eqnarray} p:\mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p(z):=z^5+z+\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ im Kreis $\begin{eqnarray} B_{\frac{1}{2}}(0):=\left\{x\in \mathbb C: d(x,a)\leq \frac{1}{2} \right\} \end{eqnarray}$ genau eine Nullstelle hat. Es ist also zu zeigen: $\begin{eqnarray} p(z)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow p(z)+z=z \end{eqnarray}$ Dies wäre wieder ein fixpunktproblem. Nun muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} p(z)+z \end{eqnarray}$ eine strikte kontraktion ist. Also ist zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \left\| p(z)+z - p(y) - y \right\| \leq q\|z-y\| \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} q < 1 \end{eqnarray}$ gilt. Nur verwirrt mich das mit dem Kreis irgendwie, weswegen ich nicht weiss wo ich anfangen soll. Ich hatte mir schon überleget: $\begin{eqnarray} \left\| p(z)+z - p(y) - y \right\| \leq\left\| p(z) - p(y)\right\|+\|z-y\| \end{eqnarray}$ zu verwenden. Dass bringt mich allerdings nicht so recht weiter. Wenn ich das richtig verstehe kann der abstand von x auch höchstens 0,5 betragen. Kann jemand etwas licht ins dunkel bringen ? mfg. Alexandria

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