Gruppenthorie

26.05.2013, 13:16	lessing89	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenthorie Hallo. Ich habe eine frage bei folgender Aufgabe Ich soll zeigen, dass f ein surjektiver Gruppenhomorphismus ist. $\begin{eqnarray} f(\mathbb{Z},+) \rightarrow (R_n, \oplus) \end{eqnarray}$ mit der Vorschrift $\begin{eqnarray} a \mapsto R_n(a) \end{eqnarray}$ Dabei sei $\begin{eqnarray} R_n(a) \end{eqnarray}$ der Rest bei Division von a durch n und $\begin{eqnarray} a \oplus b := R_n(a+b) \end{eqnarray}$ Desweitern beinhaltet die Menge $\begin{eqnarray} R_n=\lbrace 0,1,2,\hdots, n-1 \rbrace \end{eqnarray}$ Ich habe mir das jetzt wie folgt Gedacht: Es gilt ja: $\begin{eqnarray} a=n\cdot x + R_n(a) \Rightarrow R_n(a)= a-nx \end{eqnarray}$ zu zeigen f ist gruppenhomorphismus d.h. $\begin{eqnarray} f(a+b)=f(a) \oplus f(b) \end{eqnarray}$ Ich betrachte zunächst die linke Seite. $\begin{eqnarray} f(a+b)=R_n(a+b)=a+b-nx \end{eqnarray}$ nun die rechte Seite $\begin{eqnarray} f(a)\oplus f(b)= R_n(a) \oplus R_n(b)= R_n(R_n(a)+R_n(b))=R_n(a-ny+b-nz)=R_n((a+b)-(n(z+y)))=(a+b)-n(z+y+q) \end{eqnarray}$ Dabei seien $\begin{eqnarray} z,y,q \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt die linke und recht seite vergleiche $\begin{eqnarray} a+b-nx=a+b-n(z+y+q) \end{eqnarray}$ Kann ich dann einfach darauf schließen das x=z+y+q ist und dann wäre ich fertig? Oder habe ich mein $\begin{eqnarray} R_n(a) \end{eqnarray}$ falsch gewählt?

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