Unbeschränktheit eines Integrals

26.05.2013, 14:16

Iorek

Unbeschränktheit eines Integrals

Moin,

ich hänge gerade an folgendem Integral und würde gerne zeigen, dass es unbeschränkt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))\cdot t)| + \frac 1{(t+1)^2} ~dt \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich das Integral als Summe von zwei Integralen geschrieben, das zweite Integral ist offensichtlich beschränkt, also würde ich die Unbeschränktheit des ersten Integrals nachweisen wollen. Dazu betrachte ich die Nullstellenmenge von $\begin{eqnarray*} |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))\cdot t)| \end{eqnarray*}$ , diese ist abzählbar und lässt sich somit darstellen als $\begin{eqnarray*} N=\{a_1,a_2,a_3,\dots\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i<a_{i+1} \end{eqnarray*}$ . Damit ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))\cdot t)| ~dt\geq \sum\limits_{i=1}^\infty \int_{a_i}^{a_{i+1}} |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))\cdot t)|~dt \end{eqnarray*}$

Mit einem Stetigkeitsargument lässt sich in jedem Intervall $\begin{eqnarray*} (a_i,a_{i+1}) \end{eqnarray*}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))|>\varepsilon_i >0 \end{eqnarray*}$ abschätzen, also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty \int_{a_i}^{a_{i+1}} |\sin^6(t)\cdot \cos(\ln(1+t))\cdot t)| ~dt \geq \sum\limits_{i=1}^\infty \int_{a_i}^{a_{i+1}} \varepsilon_i \cdot t~ dt = \sum\limits_{i=1}^\infty \frac 12\varepsilon_i (a_{i+1}^2-a_i^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt stört nur noch das $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i \end{eqnarray*}$ , wäre das konstant, hätte man eine wunderbare Teleskopsumme. Ich sehe bisher aber keine Begründung, weshalb man $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i>\varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nehmen könnte; bei Wolfram am Graphen abgelesen tut es das natürlich, aber ich hätte schon gerne ein besseres Argument.

26.05.2013, 14:40

Che Netzer

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RE: Unbeschränktheit eines Integrals
Wenn die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \sin^6t\cos\bigl(\ln(1+t)\bigr) \end{eqnarray*}$ sind, gibt es natürlich kein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sin^6t\bigl\lvert\cos(\ln(1+t))\bigr\rvert>\varepsilon_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in(a_i,a_{i+1}) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte lieber die Bereiche, in denen z.B. $\begin{eqnarray*} \lvert\sin t\rvert\geq\frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigl\lvert\cos(\ln(1+t))\rvert\geq\frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ .
Zeige dann, dass deren Schnitt schon unendlich groß ist:
Wie verhält sich die Länge der Intervalle, in denen die zweite Ungleichung gilt? Enthalten die irgendwann immer eines der Intervalle, in dem die erste Ungleichung gilt?

26.05.2013, 15:23

Iorek

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RE: Unbeschränktheit eines Integrals

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \sin^6t\cos\bigl(\ln(1+t)\bigr) \end{eqnarray*}$ sind, gibt es natürlich kein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sin^6t\bigl\lvert\cos(\ln(1+t))\bigr\rvert>\varepsilon_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in(a_i,a_{i+1}) \end{eqnarray*}$ .

In der Tat, da fehlte eine Zeile; ich wollte mir jeweils ein Teilintervall $\begin{eqnarray*} (a_i',a_{i+1}')\subset (a_i,a_{i+1}),~a_i<a_i'<a_{i+1}'<a_{i+1} \end{eqnarray*}$ wählen mit passendem $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i \end{eqnarray*}$ , d.h. im letzten Integral sollten die Grenzen jeweils durch diese Teilintervalle gegeben sein: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty \int_{a_i'}^{a_{i+1}'} \varepsilon \cdot t~dt=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac 12\varepsilon_i(a_{i+1}'^2-a_i'^2) \end{eqnarray*}$ . Dafür wollte ich dann die $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i \end{eqnarray*}$ gegen etwas Konstantes abschätzen.

Ich guck mir aber zunächst mal die anderen Abschätzungen an, danke.

26.05.2013, 18:36

Iorek

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Tuts mit einem Argument bzw. einer Abschätzung über die Intervalllänge von $\begin{eqnarray*} [e^{\pi n-\frac {\pi}4}-1;e^{\pi n+\frac {\pi}4}-1] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ .

Werde mich irgendwann nochmal an meinen ersten Gedanken setzen, finde den eigentlich eleganter (und nicht so brutal, die Abschätzung für die obige Intervalllänge ist für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ziemlich grob...). Vielleicht gibts ja doch ein geeignetes globales $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.05.2013, 19:03

Che Netzer

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Die Intervalle brauchst du nicht einmal genau anzugeben.
Wichtig sind folgende Aussagen:

Für den Sinus-Term: Der ist periodisch, insbesondere enthält jedes Intervall, das länger als die Periodenlänge ist, ein Teilintervall der Länge $\begin{eqnarray*} c_1>0 \end{eqnarray*}$ , auf dem dieser Term größer gleich einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c_2>0 \end{eqnarray*}$ ist (denn ein solches existiert in der Periode).

Für den Cosinus-Term: Die Intervalle, auf denen dieser größer gleich einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c_3>0 \end{eqnarray*}$ ist, werden beliebig groß (wieso und was folgt daraus insbesondere?) und sind unendlich viele.

Die Wahl $\begin{eqnarray*} c_2=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3=\frac1{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ war rein exemplarisch, hauptsache beide Konstanten sind kleiner als Eins.

26.05.2013, 19:18

Iorek

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Diese Aussagen sind mir schon klar, aber es geht ja auch mit der (brutalen) Abschätzung. Und die Intervalle aufzustellen, ist ja auch kein großes Problem.

26.05.2013, 19:32

Che Netzer

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Aber wozu denn?
Da schreibt man nach den beiden Aussagen einen einzigen weiteren Satz und das war's.
Ohne konkrete Werte oder Abschätzungen und ohne Rechnung – mal abgesehen von " $\begin{eqnarray*} \infty\cdot c_1c_2c_3=\infty \end{eqnarray*}$ ".

26.05.2013, 19:41

Iorek

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Ganz einfach, die Abschätzung ist mir auf Anhieb ins Auge gesprungen und ich habs schon in Reinschrift für die Abgabe verfasst. Augenzwinkern

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