Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen

26.05.2013, 15:16

seltub

Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen

gegeben ist die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{z-1}{z+1} \end{eqnarray*}$

Im Skript steht folgende Rechnung als Beweis dafür, dass der Einheitskreis auf die imaginäre Achse abgebildet wird:

$\begin{eqnarray*} f(e^{i\alpha } )= \frac{e^{i\alpha }-1}{e^{i\alpha }+1} = \frac{e^{i\alpha/2 }-e^{-i\alpha/2 }}{e^{i\alpha/2 }+e^{-i\alpha/2 }}= \frac{2i\sin(\alpha /2) }{2cos(\alpha /2)} = itan(\alpha /2) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich darauf, dass $\begin{eqnarray*} e^{i\alpha } -1=e^{i\alpha /2} -e^{-i\alpha /2} \end{eqnarray*}$ ?
Der nächste Schritt folgt aus der Definition von sin(x) und cos(x) und tan(x).
Das ist mir alles klar. Aber den ersten Schritt verstehe ich nicht.
Wäre dankbar für eine Antwort.

26.05.2013, 15:23

Che Netzer

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen
Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-\mathrm i\frac\alpha2} \end{eqnarray*}$ , um die zweite Gleichheit zu erhalten.

Zitat:

Wie komme ich darauf, dass $\begin{eqnarray*} e^{i\alpha } -1=e^{i\alpha /2} -e^{-i\alpha /2} \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt gar nicht (betrachte $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi \end{eqnarray*}$ ).

26.05.2013, 16:03

seltub

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen
Das steht doch dann aber in der Gleichung, wenn man mit $\begin{eqnarray*} e^{-i\frac{\alpha }{2} } \end{eqnarray*}$ erweitert.

Gut danke, das hilft mir dann erstmal weiter sonst.

26.05.2013, 16:05

Che Netzer

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen

Zitat:

Original von seltub
Das steht doch dann aber in der Gleichung, wenn man mit $\begin{eqnarray*} e^{-i\frac{\alpha }{2} } \end{eqnarray*}$ erweitert.

Was steht dann dort? verwirrt

Die Gleichung, die ich zitiert hatte?
Nein...

26.05.2013, 16:09

seltub

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen
Es ist doch eigentlich
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{i\alpha }-1 }{e^{i\alpha }+1 } = \frac{e^{i\alpha } +e^{i\pi }}{e^{i\alpha } -e^{i\pi } } \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 16:12

Che Netzer

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen
Ja. Und was nun?

26.05.2013, 16:15

seltub

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RE: Möbiustrafo- Einheitskreis auf imaginäre Achse- kann Rechnung im Skript nicht nachvollziehen
schuldigung.

habe irgendwie an hoch -alpha/2 anstatt an *e^(-alpha/2) gedacht.
Deswegen habe ich das die ganze Zeit nicht verstanden. Jetzt ist aber klar.

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