Kommutierende Matrizen

26.05.2013, 15:17	Studentin123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutierende Matrizen Meine Frage: Hi, ich hänge an folgender Aufgabe: Welche Matrizen Z element M^(nxn) kommutieren mit allen Matrizen A element M^(nxn)? Meine Ideen: Ich hab jetzt ein bisschen rumprobiert und überlegt und glaube, dass nur Vielfache der Einheitsmatrix E dieses Problem lösen. Aber ich denke, das einfach zu schreiben, reicht als Beweis nicht ganz aus... Wie kann ich denn zeigen, dass a) alle Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ *E kommutieren können b) es auch wirklich keine anderen gibt? Für Denkanstöße wäre ich sehr dankbar
26.05.2013, 16:35	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, deine Vermutung ist richtig. Zu a): Berechne doch einfach mal für $\begin{eqnarray} Z = \lambda E \end{eqnarray}$ das Produkt $\begin{eqnarray} ZA \end{eqnarray}$ . Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray} ZA = AZ \end{eqnarray}$ . Zu b): Das ist etwas schwieriger. Betrachte Matrizen der Form $\begin{eqnarray} A = E + E_{ij} \end{eqnarray}$ , wobei die Matrix $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} (i,j) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist und sonst $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Berechne dann $\begin{eqnarray} ZA \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} AZ \end{eqnarray}$ und vergleiche.
26.05.2013, 17:00	Studentin123	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon einmal vielen Dank! Teil a habe ich jetzt verstanden und einen schönen Beweis über die Definition des Matrizenprodukts geschafft, war wirklich nicht schwer. Bei b) verstehe ich nicht ganz, was es mir bringt, wenn ich diesen Schritt ausführe. Logischerweise kommutieren die Matrizen dann nicht. Aber was bringt mir das oder wie schreibe ich das verallgemeinert schön auf (dass es nicht nur für Matrizen der Form A=E+E(ij) gilt?) Ich hoffe meine Frage ist verständlich Vielen Dank schon mal im Vorraus
26.05.2013, 17:04	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, versuche andersherum zu denken. Beginne mit einer allgemeinen Matrix $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ , die mit allen Matrizen aus $\begin{eqnarray} M(n,n,K) \end{eqnarray}$ kommutiert. Dann kommutiert die Matrix $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ insbesondere mit allen Matrizen $\begin{eqnarray} A = E + E_{ij} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} AZ = ZA \end{eqnarray}$ . Aus dieser Gleichung kannst du notwendige Voraussetzungen an $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ableiten, d.h. $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ muss eine gewisse Form haben (diese Form musst du aus $\begin{eqnarray} AZ = ZA \end{eqnarray}$ folgern).
26.05.2013, 18:25	Studentin123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich steh irgendwie auf dem Schlauch... Ich hab jetzt als Beispiel eine allgemeine 3X3 Matrix mal von beiden Seiten mit A=E+E(2,3) multipliziert, und kann dann folgern, dass a1,2=a3,1=a,32=0 und a2,2=a,3,3 Das ist aber noch nicht die Einheitsmatrix. Was übersehe ich denn da?
26.05.2013, 18:41	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstens: Dein Ziel ist ja nicht, dass für $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix rauskommt, sondern, dass $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist, die ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, sprich $\begin{eqnarray} Z = \lambda E \end{eqnarray}$ . Wenn du also folgern kannst, dass die Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ (die Einträge von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ bezeichne ich jetzt mal mit $\begin{eqnarray} z_{ij} \end{eqnarray}$ , um sie nicht mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu verwechseln) alle gleich sind (in deinem Beispiel hast du schon gefolgert, dass $\begin{eqnarray} z_{22} = z_{33} \end{eqnarray}$ ) und dass alle anderen Einträge $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sind, bist du fertig. Nun hat dein $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ in deinem Beispiel aber noch nicht ganz diese Form, z.B. weißt du nicht, ob $\begin{eqnarray} z_{11} = z_{22} \end{eqnarray}$ gilt, oder ob $\begin{eqnarray} z_{13} = z_{23} = z_{21} = 0 \end{eqnarray}$ . Das heißt, du brauchst mehr Bedingungen für $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ . In deinem Beispiel hast du deine allgemeine $\begin{eqnarray} 3 \times 3 \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ nur mit $\begin{eqnarray} E+E_{23} \end{eqnarray}$ multipliziert. Du könntest $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ aber noch zusätzlich mit Matrizen der Form $\begin{eqnarray} E + E_{ij} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (i,j) \neq (2,3) \end{eqnarray}$ multiplizieren, um noch mehr Informationen über die Einträge von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ zu gewinnen. Das geht, weil $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ja mit allen Matrizen kommutiert. Rechne das mal anhand deines Beispiels durch! Wenn du das dann anhand deines Beispiels mal nachvollzogen hast, versuche dich an einem allgemeinen Beweis. Ich hoffe, ich konnte helfen.
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26.05.2013, 18:56	Studentin123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das konntest du! Ich habs verstanden, vielen, vielen, Dank!!!!!!
26.05.2013, 18:58	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich. Versuche dich mal an einem allgemeinen Beweis. Wenn du damit Schwierigkeiten hast, melde dich einfach noch mal. Viele Grüße!

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