Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner

26.05.2013, 16:58

Easy-P

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Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner

Meine Frage:
Hi, ich habe eine Funktion, bei der die Variablen im Nenner stehen. Von dieser Funktion muss ich nun die Stammfunktion herausfinden.
Hier ist die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{250}{625+(x-40)^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes habe ich die binomische Formel im Nenner gelößt:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{250}{x^2-80x+2225} \end{eqnarray*}$
Jetzt müsste man doch eigentlich versuchen die Variablen aus dem Nenner zu holen, damit man Anfangen kann zu integrieren. Leider weiß ich nicht wie.

26.05.2013, 17:05

Mulder

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Führe das Ganze auf das bekannte Grundintegral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+x^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$

zurück. Bisschen umformen, eine lineare Substitution und fertig.

Die Klammer auszumutliplizieren ist nicht zielführend.

26.05.2013, 17:07

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

Folgender Weg:

1. 250 als Konstante vor das Integral
2. Substituiere z= x-40
3 .Klammere 625 im Nenner aus und stelle sie vor das Integral
4. Substituiere

$\begin{eqnarray*} v= \frac{z}{25} \end{eqnarray*}$

dann hast Du ein Grundintegral

resubstituiere dann.

EDIT zu spät

Tut mir WIRKLICH leid Mulder , das wir uns immer iin die Quere kommen, aber ich kann doch nicht sehen, das Du antwortest

smile

smile

26.05.2013, 17:11

Mulder

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner

Zitat:

Original von grosserloewe
Tut mir WIRKLICH leid Mulder , das wir uns immer iin die Quere kommen, aber ich kann doch nicht sehen, das Du antwortest

Dass sich zwei Antworten überschneiden, kommt immer wieder mal vor, passiert mir auch. Dafür hackt dir niemand den Kopf ab. Ich zumindest nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2013, 18:22

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Vielen Dank für eure Antworten!
Ich hab gerade Versucht die Tipps umzusetzen und die lineare substitution anzuwenden. Leider bin ich daran immer wieder gescheitert und mir sind ein paar Fragen aufgekommen:
Funktioniert hier überhaupt die lineare substitution, ich habe ja einen exponenten zweiten grades?
Wie kann ich die 625 ausklammern?
Was bedeutet $\begin{eqnarray*} v=\frac{z}{25} \end{eqnarray*}$ und wie kommt man darauf?

26.05.2013, 22:18

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

Da ich Mulder nicht sehen kann:

Zuder Frage:
Funktioniert hier überhaupt die lineare substitution -----> ja

schauh mal , vielleicht hilft das weiter:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{250}{625 +(x-40)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 250 \int \! \frac{1}{625 +(x-40)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Substtution : $\begin{eqnarray*} z= x-40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 250 \int \! \frac{1}{625 + z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

Schauh Dir das mal biite an

Verstehst Du das? Welche Fragen bleiben?

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27.05.2013, 12:00

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Das habe ich verstanden, Danke.

Nur wie komme ich von hier $\begin{eqnarray*} 250 \int \! \frac{1}{625 + z^2} \, dz \end{eqnarray*}$ auf das Grundintegral $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+x^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$ ?

Und wie kann ich anschließend meine Stammfunktion daraus bilden?

27.05.2013, 20:43

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Die Lösung vom Grundintegral ist arctan(x), oder?
Nach wie vor weiß ich aber immer noch nicht, wie ich bis dahin rechnen muss.

27.05.2013, 20:46

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

Wichtig ist .das Du auch deinen Beitrag lieferst.
Hast du schon Erfahrungen mit Integration?

27.05.2013, 20:49

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Ja, aber hauptsächlich von etwas leichteren Funktionen, ohne Bruch.

27.05.2013, 20:50

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

dann versuche mal Punkt 3 von mir umzusetzen

27.05.2013, 21:02

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Um die 625 auszuklammern brauch ich doch in meinem Therm zwei gleiche Variablen.!?

Ich hab echt viel rumprobiert, bin aber nicht weitergekommen.

$\begin{eqnarray*} 250 \int \! \frac{1}{625 + z^2} \, dz \end{eqnarray*}$ hier finde ich wirklich keinen Ansatz.

27.05.2013, 21:07

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

nein

Was ich meine:

$\begin{eqnarray*} 625 +z^{2} =625 (1+\frac{z^{2} }{625} ) \end{eqnarray*}$

verstehts Du das, was folgt nun?

27.05.2013, 21:42

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Diese Gleichung ist zweifelsohne richtig, aber mir ist schleierhaft, wie du das umgeformt hast.
Um erhrlich zu sein: Ich habe keine Ahnung wie es weitergehen soll und man auf das Grundintegral kommt.

27.05.2013, 21:57

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

also den Faktor

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{625} \end{eqnarray*}$

kannst du vor das Integral als Konstante setzen zusammen mit den 250 ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \int \! \frac{1}{1+ \frac{z^{2} }{625} } \, dz \end{eqnarray*}$

Hast Du das verstanden, wenn ja fahre mit Punkt 4 fort.

27.05.2013, 22:34

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Danke für den Tipp!
Ich habe so gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \int \! \frac{1}{1+ \frac{z^{2} }{625} } \, dz \end{eqnarray*}$
substituiert: $\begin{eqnarray*} v=\frac{z}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \int \! \frac{1}{1+ v } \, dz \end{eqnarray*}$

Danach habe ich das Grundintegral integriert und resubstituiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} arctan(\frac{z}{25} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} arctan(\frac{x-40}{25} ) \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich habe trotzdem einen Fehler eingebaut (abgesehen von +c), da diese Stammfunktion im vergleich zum Taschenrechner falsche Zahlen ausspuckt.

Kannst du mir da (hoffentlich zum letzten mal) noch einmal weiterhelfen?

27.05.2013, 22:44

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

da sind 2 Fehler drin

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dz} =\frac{1}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dz=25 dv \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 10 \int \! \frac{1}{1+v^2} \, dv \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} 10arc tanv +C \end{eqnarray*}$

2 mal resubstituiert das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 10 * arc tan ( \frac{x-40}{25} )+C \end{eqnarray*}$

29.05.2013, 19:28

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Danke!
Nur wie kommt man auf das hier?
$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dz} =\frac{1}{25} \end{eqnarray*}$
Welche Rechenregel ist das?

29.05.2013, 19:31

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} v= \frac{z}{25} \end{eqnarray*}$

schauh mal etwas weiter oben.

einmal abgeleitet

29.05.2013, 19:43

Easy-P

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Aber warum muss man das machen? Gibt es eine Regel dazu?

29.05.2013, 19:47

grosserloewe

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RE: Integrieren einer gebrochenen Funktion mit Variablen im Nenner
Wink

Wink

das dz muß doch in dv umgewandelt werden.

Schauh mal hier :

http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

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