fragen zu matrizen

26.05.2013, 17:28	cafer.eken	Auf diesen Beitrag antworten »
fragen zu matrizen Meine Frage: hallo an alle .. ich hab ein problem mit einer aufgabe :/... In einem alten Lagerhaus lebt eine Population von schädlichen Insekten, deren Vermehrung in den folgenden Monaten von den Eigentümern kritisch beobachtet wird.Die jungen Insekten (J) benötigen bis zur Geschlechtsreife etwa ein halbes Jahr. Die reifen Insekten (R) vermehren sich und entwickeln sich in einem weiteren halben Jahr zu den ausgewachsenen alten Insekten (A). Auch diese alten Insekten haben noch Nachkommen, aber sterben dann. Die Matrix P beschreibt die Populationsentwicklung im Modell: (0 100 50) P=(0,02 0 0) (0 0,25 0) a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen der Population und erklären Sie die Eigenschaften der Matrix und des Graphen in Worten. b)Bei einer ersten Sichtung wurden 800 junge, 60 reife und 20 alte Insekten festgestellt. Berechnen Sie die Bestandsverteilungen der Insektenpopulation für die nächsten 9 Halbjahre. Meine Ideen: zu a) den übergangsgraphen hab ich denk ich richtig.. nur wie sind die eigenschaften der matrix und des graphen? :/ zu b) hier habe ich matrix P multipliziert mit (800) (60 ) (20 ) Das ergebnis ist dann der bestand im ersten halbjahr. für das zweite halbjahr hab ich dann wieder matrix P multipliziert mit dem ergebnis vom ersten halbjahr.. und dann immer so weiter bis zum neunten halbjahr.. ist das so richtig?? :/ ich bitte um hilfe!! dankeschön
26.05.2013, 21:18	rousie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fragen zu matrizen Also, so wie du deine Lösung geschildert hast, sieht richtig aus. a) Das wichtigste ist eigentlich, dass du erkennst wo die Geburtenrate, Übergangsrate und Verbleiberate bei der Matrix sowie beim Übergangsgraphen sind. Denn dann kannst du problemlos die Gemeinsamkeiten und den Zusammenhang erklären. Es ist auch wichtig zu erkenne, dass es beim Graphen drei Gruppen in der Population gibt, und es deshalb auch eine 3x3 Matrix sein muss. b) Hier brauche ich dir eigentlich gar nichts weiter erklären, vielleicht nur einen kleinen Tipp geben, wobei ich nicht weiß, ob du es in dieser Aufgabe wirklich brauchst. Du könntest nämlich am Ende, wenn du alle 9 Vektoren berechnet hast zu jedem Vektor das Skalarprodukt berechnen um zu prüfen, ob die Insekten aussterben, bis ins Unendliche wachsen oder so bleiben (stationärer zustand)
26.05.2013, 22:02	cafer.eken	Auf diesen Beitrag antworten »
a) hm ok.. ich vermute mal geburtenrate ist die 1. zeile; übergangsrate die 2.zeile und verbleiberate die 3.zeile oder? .. b)also ist mein rechenweg so richtig?.. die aufgaben gehen noch weiter:/.. es gibt noch c) bis g) und ich komm leider nicht weiter .. c) Ergänzen Sie mit Hilfe der Werte aus Teil b) die Tabelle und stellen Sie die Entwicklung der Gesamtpopulation graphisch dar. Was fällt Ihnen auf? -die tabelle beinhaltet die halbjahre angefangen von 0 bis 9 und zu jedem halbjahr soll der entsprechende gesamtbestand erstellt werden... doch was ist der gesamtbestand?? :/ d)Erklären Sie, welche Bedeutung die Matrix P2 hat. Berechnen Sie mit Hilfe von P2 nochmal den Bestand am Ende des 4.Halbjahres. -was ist p2 und wie soll ich damit den bestand für das 4. halbjahr berechnen? bitte um hilfe auch für diese aufgaben :/!! dankeschön..
26.05.2013, 22:45	rousie	Auf diesen Beitrag antworten »
a.) also, die geburtenrate hast du richtig erraten. Also die Verbleiberate ist eigentlich die Hauptdiagonale und die Übergangsrate ist die diagonale darunter. b.) Ja, das ist richtig. Dein Rechenweg kann man eigentlich so zusammenfassen: $\begin{eqnarray} p\cdot x_{n}= x_{n+1} \end{eqnarray}$ n= Anzahl der Halbjahre x= Popullationsvektor p=Lesliematrix c.) Hier musst du, wie ich in b.) vermutet hatte, dass Skalarprodukt zu jedem Vektor berechnen, d.h. du musst die Werte, die im Vektor sind zusammen addieren. Die Zahl, die dabei rauskommt ist die Gesamtpopulation von dem jeweiligen Vektor. Danach musst du wahrscheinlich auch feststellen, ob die Tiere aussterben oder so. d.) Ich vermute p2 soll $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ sein, richtig? Das heißt, dass du die Matrix p mit sich selbst multiplizieren muss. Die Potenz bei der Matrix bedeutet das gleiche wie das n bei dem Vektor. Wenn also die Matrix hoch 2 genommen wird, heißt das, dass diese Matrix mit dem Startvektor multipliziert den Populationsvektor $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ ergibt. Wenn du jetzt also $\begin{eqnarray} x_{4} \end{eqnarray}$ berechnen sollst, hast du zwei Möglichkeiten, entweder du rechnest $\begin{eqnarray} p^2 \cdot x_{2} \end{eqnarray}$ oder du rechnest $\begin{eqnarray} p^2 \cdot p^2 \end{eqnarray}$ und dann das Ergebnis, also $\begin{eqnarray} p^4 \end{eqnarray}$ mit dem Startvektor multiplizieren. Bei beiden Möglichkeiten kommt das Gleiche raus. Und falls du dich fragst, wieso die beiden Gleichungen so aussehen, dann sag ich dir nur, wenn man Potenzen miteinander multipliziert, dann addiert man die Potenzen selber miteinander, also 2+2=4. Hoffe ich konnte dir weiter helfen.
27.05.2013, 12:04	cafer.eken	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke jetzt habe ich a) bis d) .. bei c) das skalarprodukt vom 4.halbjahr müsste die gleiche zahl sein wie bei aufgabe d) wenn man den bestand mit P2 x P2 ausrechnet oder? jetzt fehlen mir nur noch aufgabe e), f) und g) e) Um die Insektenplage zu begrenzen, werden am Ende des 4. Halbjahrs kurzzeitig Köderdosen aufgestellt. (0,4 0 0) K=(0 0,6 0) (0 0 0,5) -Begründen Sie, dass der Einfluss der Köderdosen durch die Matrix K beschrieben werden kann. -Berechnen Sie mit Hilfe der Matrix K den Bestand am Ende des 4. Halbjahrs (siehe Teil c) nach Einsatz der Köderdosen. f)Der Einsatz der Köderdosen wird am Ende der folgenden Halbjahre wiederholt. -Geben Sie eine neue Populationsmatrix Pneu an, die den halbjährigen Einsatz der Köderdosen berücksichtigt. -Beurteilen Sie durch geeignete Rechnungen, ob durch die Köderdosen das weitere Anwachsen der Insektenpopulation verhindert werden kann. -Wie ist die langfristige Prognose? g)Prüfen Sie durch Rechnung, ob es für die Matrix P eine stabile Bestandsverteilung gibt. meine idee: zu e) hier bin ich nur auf die idee gekommen den bestand vom 4.halbjahr den wir bei aufgabe d) ausgerechnet haben mit der matrix K zu multiplizieren.. ist das so richtig? :/ und wie gehts weiter oder besser gesagt was fehlt mir noch? zu f) und g) hab ich leider keine idee, ich komme nicht weiter bitte um hilfe!!! danke!
27.05.2013, 23:28	rousie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Skalarprodukt müsste eigentlich das selbe sein. e) Im Grunde musst du genauso begründen wie bei der Matrix P. Was bedueten den die Zahlen in der Matrix? Aber ist die Matrix richtig so, irgendwie sieht sie komisch aus im Gegensatz zu Matrix P? Aber deine Idee ist richtig. f) Hier muss du Matrix P mit Matrix K multiplizieren, glaub ich zumindest. Hier bin ich mir gerade nicht sicher. Dann würde ich einige Vektoren ausrechnen um zu prüfen, wie sich die Sache weiterentwickelt. g) Eine stabile Bestandverteilung bedeutet, dass sich der Vektor bei der nächsten Generation, also beim nächsten Halbjahr nicht ändern, sonder immer gleich bleibt. Du musst also eine Gleichung aufstellen, bei der Matrix P mit einem Vektor multipliziert den gleichen Vektor ergibt. Und dann musst du die Gleichung lösen.
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28.05.2013, 00:06	cafer.eken	Auf diesen Beitrag antworten »
(0,4 0 0) K=(0 0,6 0) (0 0 0,5) das ist die matrix K ..ich hoffe jetz ist es deutlicher.. e) wie kann der einfluss der köderdosen beschrieben werden? :/ g) nach was löse ich die gleichung auf? und danke nochmal!!
28.05.2013, 10:59	rousie	Auf diesen Beitrag antworten »
e) Überleg doch mal, was die einzelnen Zeilen sagen, die 1.Zeile ist die Gruppe J, die 2. ist R und die 3. Zeile ist ...? d.h, dass es um 0,4 weniger Insekten in J gibt, 0,6 weniger in ... und 0,5 weniger in ... ? f) wie sieht denn deine Gleichung aus? Wenn du sie richtig hast, dann musst du eigentlich nichts mehr umstellen, sondern nur die unbekannten Variabeln ausrechnen indem du ein lineares Gleichungssystem machst.

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