Wie gehts hier mit der Standardnormalverteilung weiter?

26.05.2013, 17:44

Cherbychev

Wie gehts hier mit der Standardnormalverteilung weiter?

Meine Frage:
Hallo,

gegeben ist eine normalverteilte Funktion F(mü,Standartabweichung) mü=50 und die SA=5. P(IX-50I<C)=0,6. Gefragt ist nach C.

Meine Ideen:
Habe am Anfang schon ähnliche Aufgaben gerechnet, wobei man den Term IX-50I dort nicht hatte, sondern nur eine Zahl. So kann man dann einfach Standartiesieren und so das Ergebnis ausrechen. Allerdings weiß ich nicht wie man so bei IX-50I vorgehen soll.

26.05.2013, 19:13

Kasen75

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Hallo,

ich würde die Zufallsvariable erstmal standardisieren:

$\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-50}{5} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \mu =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{Standardnormalverteilung} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} P(|Z|<C)=0.6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(|Z|<C)=P(-C < Z < C)=\Phi(C)-\Phi(-C) \end{eqnarray*}$

Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Lösung der Ungleichung.

Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt: $\begin{eqnarray*} \Phi(C)-\Phi(-C)=2\cdot \Phi(C)-1 \end{eqnarray*}$

Es gilt somit $\begin{eqnarray*} \Phi(C)-\Phi(-C)=2\cdot \Phi(C)-1=0,6 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \Phi(C) \end{eqnarray*}$ auflösen und den Wert für C bestimmen.

Grüße.

27.05.2013, 08:58

Cherbychev

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Hi, danke schon einmal für die fixe Antwort. Aber hast du so nicht nur P(50<C)=0,6 ausgerechnet, statt P(IX-50I<C)=0,6. Als Info ich habe 54,25 als Ergebnis raus.

LG

27.05.2013, 10:12

Kasen75

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Ich muss mich erstmal korrigieren. Ich habe den kritischen Wert nicht ebenfalls transformiert.

$\begin{eqnarray*} z_c=\frac{C-50}{5} \end{eqnarray*}$

korrigierter Abschnitt ( $\begin{eqnarray*} z_c \end{eqnarray*}$ statt C)

Zitat:

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} P(|Z|<z_c)=0.6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(|Z|<z_c)=P(-z_c < Z < z_c)=\Phi(z_c)-\Phi(-z_c) \end{eqnarray*}$

Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Lösung der Ungleichung.

Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt: $\begin{eqnarray*} \Phi(z_c)-\Phi(-z_c)=2\cdot \Phi(z_c)-1 \end{eqnarray*}$

Es gilt somit $\begin{eqnarray*} \Phi(z_c)-\Phi(-z_c)=2\cdot \Phi(z_c)-1=0,6 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \Phi(z_c) \end{eqnarray*}$ auflösen und den Wert für $\begin{eqnarray*} z_c \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Letztendlich muss $\begin{eqnarray*} z_c \end{eqnarray*}$ für diese Gleichung $\begin{eqnarray*} 2\cdot \Phi(z_c)-1=0,6 \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Danach muss man $\begin{eqnarray*} z_c \end{eqnarray*}$ zu C, nach obiger Gleichung, zurücktransformieren.

Den Wert für die obere Intervallgrenze ist bei mir auch $\begin{eqnarray*} x_o=54,12 \end{eqnarray*}$ . Der dürfte stimmen. Das ist aber nicht der Wert für C. Der Wert für C ist $\begin{eqnarray*} 54,12-50=4,12 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber hast du so nicht nur P(50<C)=0,6 ausgerechnet.

Nein.

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