Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singularität

26.05.2013, 17:57

maho12

Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singularität

Meine Frage:
Hallo.

Ich soll zwei Aufgaben lösen:

1) Bzgl. eine kartesischen Koord.-systems in der euklidischen Ebeneseine die beiden Kegelschnitte $\begin{eqnarray*} c_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} c_{1}: 9x^{2}+4y^{2}-36x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{2}: 2x^{2}+9y^{2}-18=0 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte.

2) Ein Kegelschnitt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ (ebene algebr. Kurve vom Grad 2) in der euklidischen Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ wird durch eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax^{2}+by^{2}+2cxy+2dx+2ey+f=0 \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Wir führen homogene Koordinaten in der projektiven abgeschlossenen euklidischen Ebene $\begin{eqnarray*} \overline E \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_{1}=x*x_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2}=y*x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x_{0} \neq 0) \end{eqnarray*}$ ein und betrachten den projektiven Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline c \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline c: \overline F(x_{0},x_{1},x_{2})=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \overline F: \overline F(x_{0},x_{1},x_{2})=ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+2cx_{1}x_{2}+2dx_{0}x_{1}+2ex_{0}x_{2}^{2}+fx_{0}^{2}=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Dann ist der Gradient von $\begin{eqnarray*} \overline F \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} P \in \overline E \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} grad_{p}\overline F = \left. (\frac{\sigma \overline F}{\sigma x_{0}}, \frac{\sigma \overline F}{\sigma x_{1}} , \frac{\sigma \overline F}{\sigma x_{2}}) \right|_{p} \end{eqnarray*}$

Die Kurve $\begin{eqnarray*} \overline c \end{eqnarray*}$ heißt singulär, wenn es einen Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} grad_{s}\overline F = (0,0,0) \end{eqnarray*}$ gibt.

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \overline c \end{eqnarray*}$ genau dann singulär ist, wenn die $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & d & e \\ d & a & c \\ e & c & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ NICHT invertierbar ist.

Meine Ideen:
Also:

zu 1) ich habe als erstes gedacht, dass es bestimmt einfach ist - ist es bestimmt auch immer noch. Mein Gedanke war, wenn ich Schnittpunkte von zwei Funktionen berechnen soll, kann ich die beiden Gleichungen gleichsetzten oder die eine in die andere einsetzen oder mit der p-q-Formel rechnen. Allerdings funktioniert das nicht so. Die Ergebnisse sind nicht "glaubenswürdig" (wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{162}{73} \pm \frac{6*\sqrt{583} }{73} \end{eqnarray*}$ ). Ich hab's mehrmals durchgerechnet und komme immer wieder auf diese x-Werte. Hat jemand eine Idee?

zu 2) Hier fehlt mir leider jegliche Idee, wie man an die Aufgabe ran gehen kann. Was ich noch "weiß", ist $\begin{eqnarray*} \overline F = x^{T}Ax \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=(x_{0}, x_{1}, x_{2})^{T} \end{eqnarray*}$ und einer symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray*}$ . Hier wäre eine Ansatz-Hilfe nett.

Bin jeder Hilfe dankbar.

26.05.2013, 21:29

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität

Zitat:

Original von maho12

1) Bzgl. eine kartesischen Koord.-systems in der euklidischen Ebeneseine die beiden Kegelschnitte $\begin{eqnarray*} c_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} c_{1}: 9x^{2}+4y^{2}-36x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{2}: 2x^{2}+9y^{2}-18=0 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte.

. Die Ergebnisse sind nicht "glaubenswürdig"
(wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{162}{73} \pm \frac{6*\sqrt{583} }{73} \end{eqnarray*}$ ).

.

man sieht ja nicht, was du gerechnet hast

aber zeichne dir doch mal die beiden Ellipsen auf ->

$\begin{eqnarray*} c_{1}: \frac{(x-2)^{2} }{4} + \frac{y^2}{9}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{2}: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} =1 \end{eqnarray*}$

..dann wirst du sehen, dass die Schnittpunkte
-> wohl keine friedlich ganzzahligen Koordinaten haben werden
-> dein Ergebnis möglicherweise aber irgendwie trotzdem nicht passt

.

26.05.2013, 22:07

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Danke dir erstmal.

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich hab's jetzt so gezeichnet, dass sie ineinander liegen, sodass der x-Wert einmal 2 bzw. -2 und 4 bzw. -4 ist und der y-Wert bei beiden 9.

26.05.2013, 22:21

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
$\begin{eqnarray*} c_{1}: \frac{(x-2)^{2} }{4} + \frac{y^2}{9}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{2}: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} =1 \end{eqnarray*}$

hm .. die erste Ellipse hat den Mittelpunkt in (2;0) und die Parameter a=2 und b=3

und die Zweite hat M in (0;0) und a= 3 und b= sqrt(2)

vielleicht zeichnest du nochmal??

26.05.2013, 22:35

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Ok. Mein zweiter Versuch sieht jetzt so aus, das die erste Ellipse mit M(2/0) steht (parallel zur y-Achse im ersten Quadrant) und der eine b Wert bei (0/0) durchgeht und die zweite Ellipse liegt auf der x-Ache und schneidet die erste Ellipse vermutlich irgendwo unter 1 auf der x-Achse.

26.05.2013, 23:01

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität

Zitat:

Original von maho12
.. die zweite Ellipse liegt auf der x-Ache .

..ach ja? , die Ärmste
traurig

es scheint mir so, als ob du keine Ahnung hast, was eine Ellipse ist -> google

also:
die erste Ellipse hat diese vier Scheitel -> (0;0) , (4;0) , (2 ;- 3) , (2; +3 )

die Zweite -> $\begin{eqnarray*} (-3;0) , (+3 ;0) , (0 ;- \sqrt{2} ) , (0; +\sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$

(verbesserte Darstellung)

aber wer hat heute noch Scheitel? Prost

27.05.2013, 08:42

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Das Problem ist wirklich, dass wir das noch nicht so genau behandelt haben.

Hatte mich doof ausgedrückt, meinte die x-Achse geht durch die Ellipse durch - sorry.

Und wenn ich jetzt die Schnittpunkte der beiden berechnen will, kann ich das doch ganz "normal" machen, oder?

27.05.2013, 09:20

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Kurze Frage noch. Müssen nicht die Punkte bei der zweiten durch die Wurzel von 2 gehen?

27.05.2013, 09:39

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität

Zitat:

Original von maho12
Kurze Frage noch.
Müssen nicht die Punkte bei der zweiten durch die Wurzel von 2 gehen?

... ja,richtig - das Wurzelzeichen ist oben nicht wunschgemäss eingetragen..
habe es jetzt oben mit dem Formeleditor verbessert ..

Zitat:

Original von maho12
Und wenn ich jetzt die Schnittpunkte der beiden berechnen will,
kann ich das doch ganz "normal" machen, oder?

im Prinzip JA
-
allerdings weiss niemand so genau, was du mit "normal" meinst ..
.

27.05.2013, 10:04

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Also, ich hätte eine Gleichung, z.B. die zweite, nach $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ umgestellt und die dann in die erste eingesetzt und dann eben zusammenfassen usw. Dann entsteht doch eine quadratische Gleichung und die kann man doch eigentlich mit der p-q-Formel berechnen.

27.05.2013, 16:06

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
.
hört sich gut an..
und jetzt musst du einfach deine beiden "nicht glaubenswürdigen" smile

Ergebnisse ,
die du oben schon notiert hast, dann halt mal dahingehend untersuchen, welcher
dieser beiden möglichen x- Werte den Glaubwürdigkeits-Test besteht und welcher nicht
.. und warum bzw. warum nicht.. usw..

ok?

27.05.2013, 18:44

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Ok, ich werd's nochmal probieren. smile

Hast du noch einen Tipp für die zweite Aufgabe?

28.05.2013, 14:51

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singulärität
Also das mit den Schnittpunkten funktioniert.

Bei der anderen Aufgabe hab ich mir jetzt überlegt, dass nicht invertierbar bedeutet detA=0. Und wenn ich den Hinweis, den ich ganz oben mitgenannnt haben mit x Transponiert usw. dann komm' ich auf einen Spaltenvektor mit den Variablen a,b,c,d,e,f und $\begin{eqnarray*} x_{0}, x_{1}, x_{2} \end{eqnarray*}$ und das ganze ist gleich 0. Aber wie jetzt weiter?

Neue Frage »

Antworten »

Kegelschnitte: Schnittpunkte, Singularität

Verwandte Themen