Funktionsreihenentwicklung: glm. Konvergenz Potenzreihe?

26.05.2013, 19:29

mrdo87

Funktionsreihenentwicklung: glm. Konvergenz Potenzreihe?

Hallo,

erstmal ein kurzes Lob, schönes Forum, das mir bisher immer weiter Helfen konnte.

Bin mir bei einer Aufgabe ein wenig unsicher:

$\begin{eqnarray*} f : (-1;1)->\mathbb R :x->\frac{1}{1+x^{\alpha }} , \alpha >0 \end{eqnarray*}$

f soll in Funktionenreihe entwickelt werden und die resultierende Reihe auf glm. Konvergenz auf kompakten Teilintervallen untersucht werden.

So weit bin ich:

für $\begin{eqnarray*} z:=-x^{\alpha } \end{eqnarray*}$ und der unendl. geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^{\alpha }}=\frac{1}{1-z} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } z^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{n}x^{\alpha n} \end{eqnarray*}$

Passt das soweit? Dann ist ja der Konvergenzradius 1 und somit sollte die Reihe doch für jedes Teilintervall absolut und somit glm konvergiern oder?

Was mir auch noch ein wenig Kopfzerbrechen bereitet: Was ist, wenn z.B. in f $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist? Die Funktion scheint also nicht stetig zu sein. Macht das überhaupt einen Unterschied?

Ich komme so ganz langsam in die Materie rein. Hoffe, ihr könnt mir weiter helfen.

26.05.2013, 19:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mrdo87
Was ist, wenn z.B. in f $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist?

Das frag ich mich auch: In dem Fall ist deine Funktion

Zitat:

Original von mrdo87
$\begin{eqnarray*} f : (-1;1)->\mathbb R :x->\frac{1}{1+x^{\alpha }} , \alpha >0 \end{eqnarray*}$

nämlich gar keine reelle Funktion, d.h. diese ganze Definition passt nicht. unglücklich

Kann es sein, dass du stattdessen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1+|x|^{\alpha }} \end{eqnarray*}$

meinst? verwirrt

26.05.2013, 19:42

mrdo87

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider steht die Funktion genau so auf dem Blatt, wie ich sie hier eingestellt habe, ohne Betragsstriche. Dann scheint die Aufgabe wohl nicht sauber gestellt zu sein..
Angenommen die Funktion wäre nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert: Wäre meine Argumentation sonst schlüssig?

Neue Frage »

Antworten »

Funktionsreihenentwicklung: glm. Konvergenz Potenzreihe?

Verwandte Themen