Fourierkoeffizienten und Konvergenz der Fourierreihe

26.05.2013, 19:36

Studi92

Fourierkoeffizienten und Konvergenz der Fourierreihe

Hallo Leute,
ich habe Probleme bei der Bestimmung von Fourierkoeffizienten (Aufgabe: siehe Anhang).

Nun habe ich bei der Aufgabenstellung schon folgende Sachen bestimmt (ich hoffe richtig)

von
$\begin{eqnarray*} a_k= \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^0 -x ~cos(kx) ~dx \end{eqnarray*}$

über eine partielle Integration und der Annhame, dass $\begin{eqnarray*} sin(k\pi)=0 ~~und ~~cos(k\pi)=(-1)^k \end{eqnarray*}$ ist
auf $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi*k^2}(-1)^k \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 -x~ sin(kx)~ dx \end{eqnarray*}$

über den gleichen Weg auf

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi~k}(-1)^k \end{eqnarray*}$

Zum einen habe ich jetzt ja nur von -Pi bis 0 bestimmt, muss ich das gleiche nochmal für die 0 bis Pi machen? Dann habe ich ja 4 Koeffizienten, wie setze ich das später in die Reihe ein? Kann ich diese dann wieder zusammenfassen? verwirrt

Vielen Dank im Voraus! Freude

27.05.2013, 09:26

Steffen Bühler

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RE: Fourierkoeffizienten und Konvergenz der Fourierreihe
Natürlich musst Du über die gesamte Periode integrieren. Allerdings hilft es hier ungemein, wenn Du beachtest, dass f(x) gerade ist. So bist Du nämlich schon fast fertig.

Viele Grüße
Steffen

27.05.2013, 12:45

Studi92

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Über die gesamte Periode integrieren heißt für mich also $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \end{eqnarray*}$ mit anschließender Aufspaltug in Teilintegrale und Zusammenfassung?

Ich verstehe leider deinen Tipp mit "f(x) ist gerade" nicht, denn die Funktion hier ist doch eine Sägezahnfunktion oder? Also es ist doch immer ein Dreieck pro Periode oder?

Sind die Koeffizienten denn überhaupt richtig? Natürlich hoffe ich, dass sie es sind, aber ich zweifel auch daran. Erstaunt2

Vielen Dank im Voraus

Gruß

27.05.2013, 12:50

Steffen Bühler

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Nein, die Funktion ist eine Dreiecksfunktion mit der Spitze auf der y-Achse. Somit gilt f(-x)=f(x).

Und da sind alle bk=0, und Du brauchst auch keine Teilintegrale für ak, denn das Integral von -pi bis pi ist einfach das Doppelte des Integrals von 0 bis pi.

27.05.2013, 12:53

Studi92

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Ich schaue mir das heute Abend nochmal an, muss jetzt leider erstmal zur Uni. Ups

Vielen Dank!

27.05.2013, 23:08

Studi92

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Hallo,
ich hab nochmal darüber nachgedacht und meine Koeffizienten scheinen zu stimmen.

für a0 habe ich ermittelt

$\begin{eqnarray*} a_0= \frac{1}{\pi} (\int_{0}^{\pi}x -\int_{-\pi}^{0} x )=\pi \end{eqnarray*}$

mit der Reihe
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{\pi k^2} cos(kx)) \end{eqnarray*}$

Nun steht in der Aufgabe:
"Gegen welchen Wert konvergiert die Fourierreihe in x=Pi?"

Muss ich da jetzt in mein $\begin{eqnarray*} cos(kx) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einsetzen oder kann ich das wieder ersetzen durch $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ wegen der Beziehung $\begin{eqnarray*} cos(k\pi)=(-1)^k \end{eqnarray*}$ ?

Wie komme ich schlussendlich auf den Reihenwert? Wir hatten im vorherigen Semester etliche Konvergenzkriterien, brauche ich die hier dann wieder? Erstaunt2

Vielen Dank im Voraus!

28.05.2013, 10:20

Steffen Bühler

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Richtig, es geht hier ja um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1^2} - \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} - \frac 1 {4^2} + - ... \end{eqnarray*}$

Die habt Ihr bestimmt schon gehabt.

Viele Grüße
Steffen

28.05.2013, 19:16

Studi92

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Es ist scheinbar die alternierende Reihe gemeint, aber wie bestimme ich den Reihenwert davon?

Muss ich das vielleicht über die geometrische Reihe oder mit der Teleskopsumme lösen?

Ich weiß ehrlich gesagt nicht mehr wie das geht, habe es schon nachgeschlagen.
Die ersten Glieder habe ich mir auch mal aufgeschrieben, aber ich weiß dennoch nicht den Reihenwert. Lesen1

Vielen Dank

28.05.2013, 23:18

Patrick1990

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Zitat:

Original von Studi92

über eine partielle Integration und der Annhame, dass $\begin{eqnarray*} sin(k\pi)=0 ~~und ~~cos(k\pi)=(-1)^k \end{eqnarray*}$ ist
auf $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi*k^2}(-1)^k \end{eqnarray*}$

Kann jemand dieses $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bestätigen? Ich habe da nämlich etwas anderes heraus.

29.05.2013, 09:16

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Patrick1990
Kann jemand dieses $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bestätigen? Ich habe da nämlich etwas anderes heraus.

Mea culpa. Ich habe das Ergebnis, das in der Tat falsch ist, nicht geprüft.

Studi92, zeig doch mal Deinen Rechenweg, damit wir den Fehler gemeinsam finden und das richtige Ergebnis berechnen können.

Viele Grüße
Steffen

29.05.2013, 22:34

Studi92

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Ja das war in der Tat falsch, ich hatte es etwas unachtsam hingeschrieben.

Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2\pi}{k^2}((-1)^k-1) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_k = 0 \end{eqnarray*}$ für k gerade und $\begin{eqnarray*} -\frac{4 \pi}{k^2} \end{eqnarray*}$ für k ungerade

Wie setze ich jetzt die beiden Fälle in die Reihe ein? Das ist mir nicht ganz klar.

Gruß

01.06.2013, 11:28

Studi92

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Ok ich habs hinbekommen, vielen Dank für die Hilfe!

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