Geradenschnittpunkt berechnen

26.05.2013, 22:40

Nixverstan

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Geradenschnittpunkt berechnen

Hallo zusammen!
Ich habe gerade einige Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:

Durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ (-1 | -7 | -2) und $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ (3 | -1 | 0) bzw. $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ (7 | 4 | 5) und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ (3 | 0 | -3)
verläuft je eine Gerade $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$

a) In welchem Punkt schneiden sich die Geraden?
b) Unter welchem Winkel schneiden sich diese Geraden?

Mein Ansatz:

Habe zuerst die Geradengleichungen aufgestellt:
Für $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ :

1. $\begin{eqnarray*} A_1 * -1 \end{eqnarray*}$ = (1 | 7 | 2)
2. $\begin{eqnarray*} A_1 + B_1 \end{eqnarray*}$ = (4 | 6 | 2)

$\begin{eqnarray*} g_1: \vec x = \begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ :

1. $\begin{eqnarray*} A_2 - B_2 \end{eqnarray*}$ = (4 | 4 | 8)

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec x = \begin{pmatrix} 7 \\4 \\ 5 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die beiden Vektorgleichungen gleichgestellt...:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\4 \\ 5 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... und anschließend als Gleichungssystem geordnet:

(I) 4r + 4s = 8
(II) 6r + 4s = 11
(III) 2r + 8s = 7

Habe dann: 2 * (II) - (III) gerechnet und bin so auf:

(I) 4r + 4s = 8
(II) 6r + 4s = 11
(III) 10r + 0 = 15

gekommen.

Nun die Variablen bestimmt:

10r = 15
r = 1,5

(6 * 1,5) + 4s = 4
9 + 4s = 4
4s = -9 + 4
4s = -5
s = -1,25

und in die Gleichung (I) eingesetzt:

(4 * 1,5) + (4 * -1,25) = 8
6 + (-5) = 8
1 = 8

Soweit ich nun aber weiß, kann nur ein Schnittpunkt zwischen zwei Geraden existieren, wenn die Überprüfung mit der "letzten" Gleichung eine wahre Aussage ergibt. Dies ist ja aber hier nicht der Fall. Also gehe ich mal stark davon aus, dass mein Rechenweg so nicht stimmen kann.

Würde mich freune, wenn mir jemand helfen könnte! smile

smile

26.05.2013, 22:52

Kasen75

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RE: Geradenschnittpunkt berechnen

Zitat:

Original von Nixverstan
... und anschließend als Gleichungssystem geordnet:

(I) 4r + 4s = 8
(II) 6r + 4s = 11
(III) 2r + 8s = 7

Soweit ich das sehe stimmen die Vorzeichen bei den Ausdrücken mit der Variable s hier nicht.

Grüße.

27.05.2013, 22:08

Nixverstan

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Danke für deine Antwort!

Habe eben es mal so versucht:
(I) 4r - 4s = 8
(II) 6r - 4s = 11
(III) 2r - 8s = 7

Habe dann wieder: 2 * (II) - (III) gerechnet und bin so auf:

(I) 4r - 4s = 8
(II) 6r - 4s = 11
(III) 10r - 0 = 15

Und daraus ergeben sich dann ja - wenn ich mich nicht täusche - wieder die selben Ergebnisse verwirrt

verwirrt

27.05.2013, 22:20

Kasen75

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Du hast insofern recht, dass für $\begin{eqnarray*} r=+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ herauskommt.

Und jetzt s bestimmen.

Edit: Es sind r=PLUS 3/2

27.05.2013, 22:27

Nixverstan

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Ach was rede ich denn da.. Sind doch andere.. Big Laugh

Big Laugh

Habe jetzt:

Für r = 1,5

Und für s:

(6 * 1,5) - 4s = 11
9 - 4s = 11
-4s = 11 - 9
-4s = 2
s = -0,5

Das dann eingesetzt in die "letzte" Gleichung:

(4 * 1,5) - (4 * -0,5) = 8
6 - (-2) = 8
8 = 8

Wahre Aussage, Schnittpunkt also vorhanden.
Nur in welchem Punkt schneiden sich die Gleichungen?

27.05.2013, 22:37

Nixverstan

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Sry für den Doppelpost, aber ich glaub da hab ich etwas vorschnell gefragt:

Habe als Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

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27.05.2013, 22:37

Kasen75

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Du kannst jetzt z.b. den Wert für r in die Vektorgleichung für Vektor $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

27.05.2013, 22:40

Kasen75

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Zitat:

Original von Nixverstan
Sry für den Doppelpost, aber ich glaub da hab ich etwas vorschnell gefragt:

Habe als Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Leider nicht.

27.05.2013, 22:41

Nixverstan

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Hammer

Hammer

Mist, was tue ich hier nur.. Big Laugh

Big Laugh

Habe mit r = 2 gerechnet...

Also hoffentlich letzter Versuch mit r = 1,5:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.05.2013, 22:42

Kasen75

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Genau.

Freude

27.05.2013, 23:08

Nixverstan

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Na endlich stimmt's. smile

smile

Schonmal jetzt vielen Dank für deine Hilfe! Du wüsstest nicht noch zufällig auch bei Aufgabe b) Rat? :P

Zur Winkelberechnung habe ich diese Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{\vec a * \vec b}{|\vec a| * |\vec b|} \end{eqnarray*}$

Nur welche Vektoren soll ich dafür nehmen?

27.05.2013, 23:20

Kasen75

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Die Formel stimmt schon mal. Vor allem eine schöne Latex-Darstellung.

$\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ sind jeweils die beiden Richtungsvektoren.

27.05.2013, 23:29

Nixverstan

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Blöde Frage aber: Was sind die beiden Richtungsvektoren?

r und s ?

Also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
?

27.05.2013, 23:33

Kasen75

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Die Richtungsvektoren stimmen.

Die Rechnung die du gepostet hast stimmt für den Zähler.

r und s kannst du weglassen.

27.05.2013, 23:55

Nixverstan

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Okay also:

$\begin{eqnarray*} \vec a * \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 &\\ a_3b_1 - a_1b_3 \\a_1b_2 - a_2b_1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec a * \vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} (6*8) - (2*4) &\\ (2*4) - (4*8) \\ (4*4) - (6*4)\end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ -24 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{\vec a * \vec b}{|\vec a| * |\vec b|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec a| * |\vec b| = \sqrt{40 + (-24) + (-8)} = \sqrt8 = 2,82 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{40 + (-24) + (-8)}{2,82} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{8}{2,82} = 2,83 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 0,99° \end{eqnarray*}$

Uff.. Genug gelatext.. Big Laugh

Big Laugh

Nun bin ich mir aber ziemlich sicher, dass das Ergebnis falsch ist.. O.o (Nur 0,99° ?) Wo steckt der Fehler?

28.05.2013, 00:04

Kasen75

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Latex wieder 1a. Freude

Freude

Dein Verdacht, dass deine Rechung nicht stimmt ist leider richtig.

Für den Zähler musst du nur $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+a_3 \cdot b_3 \end{eqnarray*}$ berechnen.
Stichwort: Skalarprodukt.

Nenner: Hier gilt: $\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} |b|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \end{eqnarray*}$

28.05.2013, 00:22

Nixverstan

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Hammer

Warum auch einfach machen? Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt{4²+6^2+2^2} = 7,48 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b|=\sqrt{4²+4^2+8^2} = 9,78 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{(4*4)+(6*4)+(2*8)}{(7,48 * 9,78)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{(4*4)+(6*4)+(2*8)}{(73,32} = 0,765 \end{eqnarray*}$

Komme dann aber wieder auf 0,999° verwirrt

verwirrt

28.05.2013, 00:45

Kasen75

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Zitat:

Original von Nixverstan
Hammer

Hammer

Warum auch einfach machen? Big Laugh

Big Laugh

Das hatte ich mir auch gedacht.

Zitat:

Original von Nixverstan

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{(4*4)+(6*4)+(2*8)}{(73,32} = 0,765 \end{eqnarray*}$

(

Deine Rechnung stimmt im Prinzip. Freude

Freude

Vielleicht ein paar mehr Nachkommastellen für das Ergebnis der Wurzelausdrücke verwenden. |b| ist eher $\begin{eqnarray*} 9,7979\approx 9,80 \end{eqnarray*}$
Der exaktere Wert für $\begin{eqnarray*} cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist 0,7016

Zitat:

Original von Nixverstan

Komme dann aber wieder auf 0,999° verwirrt

verwirrt

Ich weiss jetzt nicht genau, wie du darauf kommst. Auf jeden Fall musst du die Umkehrfunktion verwenden um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} \alpha=cos^{-1}(0,7016) \end{eqnarray*}$

Taschenrechner:

1. Schift-Taste drücken
2. cos-Taste drücken. Darüber ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion angegeben.
3. Wert eingeben
4. =-Taste bzw. Enter-Taste drücken.

28.05.2013, 00:50

Nixverstan

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"Auf jeden Fall musst du die Umkehrfunktion verwenden um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu erhalten."

Ich glaube das war mein Hauptproblem. . . Finger1

Finger1

Komme nun mit 0,7016 auf
$\begin{eqnarray*} \alpha = ~45° \end{eqnarray*}$

28.05.2013, 01:07

Kasen75

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Ich habe eben selber einen Fehler begangen. Finger1

Finger1

Du warst mit deinem Ergebnis schon viel näher dran. Deine Rundungsfehler waren also doch nicht so stark.

$\begin{eqnarray*} cos^{-1}(0.765)=40,09°\approx 40° \end{eqnarray*}$

Ganz ohne Rundungsfehler sind es $\begin{eqnarray*} 40,2°\approx 40° \end{eqnarray*}$

Ich denke auf die Nachkommastellen kommt es dann auch nicht mehr an.

28.05.2013, 01:23

Nixverstan

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Es ist auch schon spät... Big Laugh

Big Laugh

Aber dann sollte die Aufgabe ja jetzt gelöst sein.
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!!

Wünsche noch einen angenehem Abend smile

smile

28.05.2013, 01:31

Kasen75

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Ich wünsche dir auch einen schönen Abend. Im Sommer kann dieser durchaus bis spät in die Nacht gehen. Big Laugh

Big Laugh

Freut mich, dass es noch geklappt hat.

Grüße.

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