unfaire Münze - Punktschätzung

27.05.2013, 02:09	ermeglio	Auf diesen Beitrag antworten »
unfaire Münze - Punktschätzung Meine Frage: Hallo, bin wirklich am verzweifeln... habe ein Aufgabe wo ich einfach blockiert bin... bin für eure Hilfe sehr dankbar. Hier die Aufgabe: Eine unfaire Münze mit Wahrscheinlichkeit von "Zahl" = P("Zahl") = 0.6 und Wahrscheinlichkeit von "Kopf" = P("Kopf") = 0.4 wird n-mal hintereinander geworfen. Jeder Wurf ist von den vorherigen unabhängig. Somit kann das Ergebnis in jedem Wurf durch die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Xi \end{eqnarray}$ dargestellt werden: $\begin{eqnarray} Xi = \begin{pmatrix} 1 (fuer Kopf) \\ 0 (fuer Zahl) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zufallsgrösse $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} \bar{X}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi \end{eqnarray}$ Berechnen Sie 1. $\begin{eqnarray} E[Xi ] \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} Xi^2 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} E[Xi^2 ] \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} Var[Xi ] \end{eqnarray}$ 5. $\begin{eqnarray} E[\bar{X}] \end{eqnarray}$ 6. $\begin{eqnarray} Var[\bar{X}] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das Problem ist bereits ganz am Anfang, ich verstehe nicht was hier genau verlangt wird, d.h. ich weiss nicht wie man irgend etwas ausrechnen kann, wenn ja $\begin{eqnarray} Xi \end{eqnarray}$ nicht angegeben ist. bitte, gibt mir einen Tip... vielen , vielen Dank! lg ermeglio
27.05.2013, 05:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
der Erwartungswert eine Zufallsgrösse ist die Summe aus den Produkten der Werte mal der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. $\begin{eqnarray} X_i \quad \text{hat 2 Paare} \quad (0.4\|1), (0.6\|0) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} E(X_i)= 0.4\cdot 1 + 0.6 \cdot 0 = 0.4 \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} X_i^2 \quad \text{hat 2 Paare} \quad (0.4\|1^2) , (0.6\|0^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X_i^2)=.... \end{eqnarray}$ . damit sind die ersten 3 Fragen beantwortet. 4.) Die Varianz einer Zufallsgrösse Z ist: $\begin{eqnarray} Var(Z)= E((Z-E(Z))^2) \end{eqnarray}$
27.05.2013, 08:48	ermeglio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Dopap, am liebsten würde ich Dich eine Champagner Flasche zukommen lassen! vielen Dank, das hat mir enorm weitergeholfen.... was mir noch nicht ganz klar ist: wie kann ich eigentlich $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ rechnen wenn ja $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unbekannt ist? ist meine Annahme richtig $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ zu definieren ? aber wir rechne ich dann $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ aus? ich sehe da 2 Varianten , bin aber nicht sicher welche richtig ist und oberhaupt eine richtig ist: Variante 1: $\begin{eqnarray} \bar{X}=\frac{1}{2}(0+1) =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Variante 2: $\begin{eqnarray} \bar{X}=\frac{1}{n}(n P("Kopf") =\frac{1}{n}(n0.4) = 0.4 \end{eqnarray}$ vom Gefüh her würde ich für Variante 2 gehen, denn diese zieht auch die Wahrscheinlichkeit mit ein... (wenn ja n undenlich wäre, dann hatten wir in der Sequenze 40% =1 und 60 % =0) stimmmt meine Annhame, ist Variante 2 die richtige? oder sind sogar beide falsch? vielen Dank!
27.05.2013, 10:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Variante 2 sieht ganz gut aus, besser ist richtig. Eigentlich haben wir Folgendes: Wenn wir $\begin{eqnarray} S_n = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ definieren dann gälte $\begin{eqnarray} \overline X = \frac 1n S_n \end{eqnarray}$ ; wobei $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ bekanntermaßen binomialverteilt ist. Die zugehörigen Wkts () kann man mühsam ausrechnen... kurzum es führt auf $\begin{eqnarray} E(S_n)= np \end{eqnarray}$ . Demnach ist $\begin{eqnarray} E(\overline X)=p \end{eqnarray}$ wie du vermutet hast. Zum Glück gilt aber einfacherweise : $\begin{eqnarray} E(S_n)= E(X_1+X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1)+E(X_2) + \cdots + E(X_n) = .... \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} E(\overline X)=.... \end{eqnarray}$ , so wie oben, nur jetzt noch mit Begründung. ------------------------------------------------------ () $\begin{eqnarray} P(S_n=k)= \binom n k p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$
31.05.2013, 17:10	climber1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zusammen Ich beschäftige mich grade mit dem gleichen Problem und stimme mit euch überein, dass $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ 0.4 sein muss: $\begin{eqnarray} \bar{X}=\frac{1\cdot 0.4n+0\cdot 0.6n}{n}=\frac{0.4n}{n}=0.4 \end{eqnarray}$ Aber kann man dann nicht einfach argumentieren, dass $\begin{eqnarray} E\left[\bar{X}\right]=0.4\cdot 1=0.4 \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ konstant ist und somit die Wahrscheinlichkeit 1 haben muss? Viele Grüsse Roland
31.05.2013, 17:42	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man eine saubere Begründung hat, dann sollte man nicht mehr diskutieren. Allein der Ausdruck: $\begin{eqnarray} \overline X \end{eqnarray}$ ist konstant macht Schmerzen. Wie sollte eine Zufallvariable oder Zufallsgrösse konstant=Zahl sein $\begin{eqnarray} E(\overline X)= 0.4 \quad \text{nicht} ~ \overline X \end{eqnarray}$ selbst
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