Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung

25.02.2007, 10:29

brunsi

Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung

Eine große Hausverwaltung, die einen Bestand von 10.000 Wohnungen betreut, möchte etwas über die Zufriedenheit der Mieter mit ihren Wohnungen wissen.
Dazu werden aus dem Bestand 100 Wohnungen zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählt und die Mieter befragt.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass in der Grundgesamtheit der 10.000 Wohnungen 70% der Mieter mit der Wohnung im Allgemeinen zufrieden sind. 5% der Mieter sind jedoch sehr unzufrieden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichekit dafür, dass unter den 100 ausgewählten Mietern mindestens zwei mit der Wohnung sehr unzufrieden sind??

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} X: \end{eqnarray*}$ Anzahl sehr unzufriedener Mieter[/latex]

$\begin{eqnarray*} N:=10.000 \end{eqnarray*}$ "Grundgesamtheit der Wohnungen der Hausverwaltung"
$\begin{eqnarray*} N_1:=500 \end{eqnarray*}$ "Anzahl Mieter, die mit ihrer Wohnung sehr unzufrieden sind"
$\begin{eqnarray*} n:=100 \end{eqnarray*}$ "Anazhl befragter Mieter, in der Stichprobe"

$\begin{eqnarray*} X~Hyp(100,10.000,500) \end{eqnarray*}$ , da würde aber mein Taschenrechner nicht mehr mithalten können, weshalb ich die Bedingungen überprüft habe, um diese verteilung durch die Binomialverteilung zu approximieren.
Bedingungen für eine Approximation sind erfüllt:

$\begin{eqnarray*} X~Bin(n=100,p=0,05) \end{eqnarray*}$

Dann ist die Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-0,03708=0,96292 \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt sowohl inhaltlich als auch von der Symbolik?

LiebenGruß Dennis

26.02.2007, 12:36

brunsi

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RE: Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung
und was meint ihr denn hie rzu meiner Symbolik??

@ Arthur: Konzentrieren ist gar nicht so einfach. in 2 Wochen schreibe ich bereits die Klausur und ich möchte einfach jeden evtl. Fall, der dran kommen könnte abdecken, daher mache ich mir gerade selbst voll den Stress und dadurch eben auch Feheler!!

26.02.2007, 13:18

yeti777

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RE: Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung
Hallo brunsi!

Bezüglich der Approximation durch die BINOMIAL-Verteilung habe ich dasselbe Resultat: $\begin{eqnarray*} P(X>=2)=1-P(X<2) \approx 0.9629 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe aber noch Fragen zu den Bedingungen für eine Approximation und wäre froh, wenn diese ein Profi beantworten könnte:

$\begin{eqnarray*} N=10'000 \end{eqnarray*}$ , Anzahl Wohnungen
$\begin{eqnarray*} M=500 \end{eqnarray*}$ , Anzahl sehr unzufriedene Mieter
$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ , Umfang der Stichprobe
$\begin{eqnarray*} X: \end{eqnarray*}$ Zufallsvariable, hypergeometrisch verteilt

Hypergeometrische Verteilung: $\begin{eqnarray*} P( X = x) =\frac{{N \choose x} {N - M \choose n - x}}{{N \choose n}} ,\,\,x= 0,1,2,3,.... \end{eqnarray*}$

Approximation dur BINOMIAL-Verteilung: $\begin{eqnarray*} p=\frac {M}{N}=\frac {500}{10000} = 0.05 \end{eqnarray*}$ . Meinem Taschenbuch zur Statistik entnehme ich folgende Faustformel: $\begin{eqnarray*} 0.1 < \frac{M}{N} = \frac{500}{10000} = 0.05 < 0.9 \end{eqnarray*}$ , NICHT erfüllt!
$\begin{eqnarray*} n= 100 <0.05N= 500 \end{eqnarray*}$ , erfüllt sowie $\begin{eqnarray*} n= 100 > 10 \end{eqnarray*}$ , erfüllt. Darf man jetzt approximieren oder nicht verwirrt

?

Dann wäre da noch die Approximation durch die POISSON-Verteilung:
$\begin{eqnarray*} \frac{M}{N} = \frac{500}{10000} = 0.05\leq 0.1 \end{eqnarray*}$ , erfüllt, $\begin{eqnarray*} n = 100 < 0.05 N = 500 \end{eqnarray*}$ , erfüllt, $\begin{eqnarray*} n = 100 > 30 \end{eqnarray*}$ , erfüllt.

Die Rechnung mit der POISSON-Verteilung ergibt: $\begin{eqnarray*} p(X >= 2) \approx 0.9596 \end{eqnarray*}$ , immerhin eine ziemliche Abweichung zur BINOMIAL-Verteilung.

Dann habe ich noch exakt mit der hypergeometrischen Verteilung gerechnet und erhalte: $\begin{eqnarray*} P(X >= 2) \approx 0.9636 \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich: Die Bedingungen für die Approximation durch die BINOMIAL-Verteilung sind NICHT erfüllt, jedoch wohl so für die POISSON-Verteilung. Trotzdem liegt das Resultat der BINOMIAL-Verteilung näher am exakten Resultat, als die Approximation durch die POISSON-Verteilung, wo die Bedingungen erfüllt sind. Warum verwirrt

? Stimmen meine Faustformeln nicht?

@brunsi: Wie lauten deine Faustformeln, die offenbar erfüllt sind, da du die Approximation gemacht hast?

Gruss yeti

26.02.2007, 13:27

brunsi

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RE: Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} N=10.000 \end{eqnarray*}$ Anzahl Wohnungen
$\begin{eqnarray*} M=500 \end{eqnarray*}$ Anzahl sehr unzufriedener Mieter
$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ Umfang der Stichprobe
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : Zufallsvariabel hypergeometrisch Verteilt, Anzahl sehr unzufirdener Mieter unter der Stcihprobe n

bei mir lautet de Faustformel:

$\begin{eqnarray*} \frac{N_1}{N}=p=\frac{500}{10000}=0,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\leq0,1N_1=100\leq1000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\leq0,1(N-N_1)=100\leq 0,1(10.000-500)=100\leq950 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{N}\leq 0,05=\frac{100}{10.000}\leq0,05=0,01\leq0,05 \end{eqnarray*}$

Also darf ich approximieren durch die Binomialverteilung!!

edit: aber die POISSON-Verteilung ist hierfür auch geeignet. In meiner Lösung wurde wohl durch die Poission-Verteilung approximert,, denn dein Ergebnis stimmt mit meiner Ergehbnislösung für diese aufgabe überein.
Aber ich bleibe strickt bei Binomialverteilung!!

26.02.2007, 13:29

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Zitat:

Original von brunsi
@ Arthur: Konzentrieren ist gar nicht so einfach.

Vor allem sollte man eine Antwort wie diese in dem Thread anbringen, wo sie hingehört. Sonst wirkt das schon etwas merkwürdig, vor allem auf dritte. Augenzwinkern

26.02.2007, 18:44

yeti777

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RE: Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} N=10.000 \end{eqnarray*}$ Anzahl Wohnungen
$\begin{eqnarray*} M=N_1=500 \end{eqnarray*}$ Anzahl sehr unzufriedener Mieter
$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ Umfang der Stichprobe
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : Zufallsvariable hypergeometrisch verteilt

bei mir lautet die Faustformel:

$\begin{eqnarray*} \frac{N_1}{N}=p=\frac{500}{10000}=0,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\leq0,1N_1=100\leq1000 \end{eqnarray*}$ (*1)

$\begin{eqnarray*} n\leq0,1(N-N_1)=100\leq 0,1(10.000-500)=100\leq950 \end{eqnarray*}$ (*2)
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{N}\leq 0,05=\frac{100}{10.000}\leq0,05=0,01\leq0,05 \end{eqnarray*}$

Also darf ich approximieren durch die Binomialverteilung!!

edit: aber die POISSON-Verteilung ist hierfür auch geeignet. In meiner Lösung wurde wohl durch die Poission-Verteilung approximert,, denn dein Ergebnis stimmt mit meiner Ergehbnislösung für diese aufgabe überein.
Aber ich bleibe strickt bei Binomialverteilung!!

Hallo brunsi!

Die eine Ungleichung der Faustformel - siehe (*1) - ist nicht erfüllt!

$\begin{eqnarray*} n \leq 0.1 N_1\Rightarrow 100 \not \leq 0.1\cdot 500= 50 \end{eqnarray*}$ . Also doch POISSON-Verteilung verwirrt

?

Sodann solltest du auf deine Schreibweise achten:
$\begin{eqnarray*} n\leq0,1N_1\not =100\leq1000 \end{eqnarray*}$ (*1)
$\begin{eqnarray*} n\leq0,1(N-N_1)\not =100\leq 0,1(10.000-500) \not =100\leq950 \end{eqnarray*}$ (*2)

Gruss yeti

26.02.2007, 19:07

brunsi

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RE: Approximation einer Hypergeometrischen Verteilung durch Binomialverteilung
tja, das stimmt, da hab ichmir nen rechenpatzer geleistet unglücklich

!!

selbst wenn die bedingung (*1) für die Binomialverteilung nicht erfüllt ist, so liefert sie doch einen wert, der näher an der tatsächlichen wahrscheinlichkeit liegt als die POISSON-Verteilung.

Man kann ja auch approximieren, wenn nichta lle Bedingungen erfüllt sind, jedoch gibt es dann gewaltige Abweichungen von dem Zielwert.

Doch ich denke die exaktere Approximation der Binomialverteilung kommt durch die nähere Beziehung zur Hypergeometrischen Verteilung zu stande. Habe da einmal irgendwann etwas drüber gelesen!!

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