Gruppe mit Zentrum Z(G)

Neue Frage »

Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe mit Zentrum Z(G)
Sei G eine Gruppe mit dem Zentrum Z(G). Beweisen Sie: Ist G/ Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.

Ich muss doch zeigen das die Gruppe G kein zu erzeugendes Element hat. Das heißt ich stelle eine Annahme auf, dass G/Z(G) ein Erzeuger [g] hat und ich zeige das ab = ba in dem ich a und b als Potenten von [g] darstelle, wegen def. zyklisch.

Aber wie gehe ich da jetzt vor?

lg
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Ich muss doch zeigen das die Gruppe G kein zu erzeugendes Element hat.

Freud'scher Verschreiber?

Zitat:
Das heißt ich stelle eine Annahme auf, dass G/Z(G) ein Erzeuger [g] hat

Das ist keine Annahme, sondern die Voraussetzung.

Stelle a,b als Elemente von G/Z(G) dar, nutze die definierende Eigenschaft von Z(G).
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenschaft von Ist



d.h
Ich prüfe nun die Gruppenaxiome Assoziativität, neutrales Element und Inverses Element

(i) Assoziativität
Ich zeige


(ii) Neutrales Element
Es gilt, dass das neutrale Element von auch Element von ist, denn es gilt

(iii) Inverses Element
Es gilt zu zeigen:


ist also Element von
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde diesen Thread nicht weiterverfolgen, aufgrund persönlicher Differenzen mit dem Threadersteller.

Wer will darf übernehmen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du zeigst doch jetzt nur, dass Z(G) Untergruppe von G ist (oder noch nicht mal das) [das Zentrum ist übrigens sogar Normalteiler in G]. Das ist aber gar nicht verlangt. Du sollst stattdessen zeigen, dass aus der Zyklizität der Faktorgruppe G/Z(G) folgt, dass G abelsch ist (woraus dann sogar folgt, dass es keine nicht-triviale, zyklische Faktorgruppe nach dem Zentrum einer Gruppe gibt, da das Zentrum einer abelschen Gruppe die Gruppe selber ist).

Fang mal mit dem Erzeuger [g] der Faktorgruppe G/Z(G) an. Aus der Existenz eines solchen Erzeugers folgt, dass die Nebenklassen nach Z(G) eine bestimmte Form haben müssen. Nimm dann zwei beliebige Elemente von G und zeige, dass diese kommutieren müssen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön für deine Antwort. Also:

Es gilt zu zeigen ist zyklisch, dann folgt ist abelsch.
Falls nun zyklisch ist, dann wird ein Element erzeugt. Wegen der Eigenschaft "zyklisch" sind dann die Elemente von die Potenzen der erzeugenden Nebenklassen .

Also:

für die Faktorgruppe

Die Gruppe ist Vereinigung der Linksnebenklassen



Seien zwei beliebige Elemente von . Wegen der Vereinigung existieren dann sowie



Nun zeige ich (die Kommutivität wegen Eigenschaft "abelsch")
und weil im Zentrum liegen(wegen ) gilt

Und es ist gezeigt, dass G abelsch ist.

Stimmt es so?

LG
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist OK. Statt Linksnebenklassen kannst du auch einfach Nebenklassen schreiben, da Z(G) Normalteiler ist.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Dnakeschön!.. LG
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »