Gruppe mit Zentrum Z(G) |
27.05.2013, 17:58 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gruppe mit Zentrum Z(G) Ich muss doch zeigen das die Gruppe G kein zu erzeugendes Element hat. Das heißt ich stelle eine Annahme auf, dass G/Z(G) ein Erzeuger [g] hat und ich zeige das ab = ba in dem ich a und b als Potenten von [g] darstelle, wegen def. zyklisch. Aber wie gehe ich da jetzt vor? lg |
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27.05.2013, 18:08 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Freud'scher Verschreiber?
Das ist keine Annahme, sondern die Voraussetzung. Stelle a,b als Elemente von G/Z(G) dar, nutze die definierende Eigenschaft von Z(G). |
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27.05.2013, 18:24 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Eigenschaft von Ist d.h Ich prüfe nun die Gruppenaxiome Assoziativität, neutrales Element und Inverses Element (i) Assoziativität Ich zeige (ii) Neutrales Element Es gilt, dass das neutrale Element von auch Element von ist, denn es gilt (iii) Inverses Element Es gilt zu zeigen: ist also Element von |
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27.05.2013, 18:47 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich werde diesen Thread nicht weiterverfolgen, aufgrund persönlicher Differenzen mit dem Threadersteller. Wer will darf übernehmen. |
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27.05.2013, 20:22 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du zeigst doch jetzt nur, dass Z(G) Untergruppe von G ist (oder noch nicht mal das) [das Zentrum ist übrigens sogar Normalteiler in G]. Das ist aber gar nicht verlangt. Du sollst stattdessen zeigen, dass aus der Zyklizität der Faktorgruppe G/Z(G) folgt, dass G abelsch ist (woraus dann sogar folgt, dass es keine nicht-triviale, zyklische Faktorgruppe nach dem Zentrum einer Gruppe gibt, da das Zentrum einer abelschen Gruppe die Gruppe selber ist). Fang mal mit dem Erzeuger [g] der Faktorgruppe G/Z(G) an. Aus der Existenz eines solchen Erzeugers folgt, dass die Nebenklassen nach Z(G) eine bestimmte Form haben müssen. Nimm dann zwei beliebige Elemente von G und zeige, dass diese kommutieren müssen. |
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28.05.2013, 20:37 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dankeschön für deine Antwort. Also: Es gilt zu zeigen ist zyklisch, dann folgt ist abelsch. Falls nun zyklisch ist, dann wird ein Element erzeugt. Wegen der Eigenschaft "zyklisch" sind dann die Elemente von die Potenzen der erzeugenden Nebenklassen . Also: für die Faktorgruppe Die Gruppe ist Vereinigung der Linksnebenklassen Seien zwei beliebige Elemente von . Wegen der Vereinigung existieren dann sowie Nun zeige ich (die Kommutivität wegen Eigenschaft "abelsch") und weil im Zentrum liegen(wegen ) gilt Und es ist gezeigt, dass G abelsch ist. Stimmt es so? LG |
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28.05.2013, 22:37 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist OK. Statt Linksnebenklassen kannst du auch einfach Nebenklassen schreiben, da Z(G) Normalteiler ist. |
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29.05.2013, 19:52 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay Dnakeschön!.. LG |
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